МОДУЛЬ «КІНЕМАТИКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ ТА ТВЕРДОГО ТІЛА»
Практичне заняття №5
Тема: Складання рівняння руху матеріальної точки
Та визначення її траєкторії
Програмні питання
Завдання кінематики, основні її поняття та визначення. Способи задання руху матеріальної точки: натуральний, координатний та векторний. Складання рівняння руху точки та визначення її траєкторії.
Література
1. Курок В.П. Технічна механіка. Курс лекцій: навч. посіб. для студ. вищих навч. закл. – К.: Пед. преса, 2007. – 272с., л.10.
2. Курок В.П. Технічна механіка. Розділ: Кінематика: навч. посібник. – К., 2004. – 90 с., §§1 – 2.
3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1986. – 416с., §§.36 – 37.
4. Никитин Е.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Наука, 1983. – 400с., §§.42 – 43.
5. Цасюк В.В. Теоретична механіка: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2004. – 402с., §§8.1 – 8.3.
6. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука, 1986.– 448с.
Короткі теоретичні відомості
Кінематикою називається розділ механіки, який вивчає рухи матеріальних тіл без урахування їх мас і сил, що діють на них.
Для визначення положення рухомого тіла відносно іншого вводиться поняття системи відліку. Система відліку – це система координат, яка жорстко зв'язана з тілом, по відношенню до якого вивчається рух. Оскільки в природі не існує нерухомих тіл, а отже, і абсолютно нерухомих систем відліку, то в механіці часто за умовно нерухому систему відліку обирають систему координатних осей, зв'язану з Землею.
|
|
|
Геометричне місце положень рухомої точки в обраній системі відліку називається траєкторією цієї точки. За виглядом траєкторії руху точки поділяються на прямолінійні та криволінійні.
У процесі вивчення руху точки слід розрізняти два важливих поняття: пройдений шлях і відстань. Відстань – це довжина відрізка траєкторії, відрахованого від деякої нерухомої точки, яка обирається за початок відліку. Відстань – величина алгебраїчна, оскільки в залежності від положення точки відносно початку відліку і від обраного напрямку осі вона може бути як додатною, так і від'ємною.
Рухаючись, точка за певний проміжок часу проходить деякий шлях, який вимірюється вздовж траєкторії в напрямку руху. Шлях може тільки збільшуватись, тому − це величина додатна. Шлях збігається з абсолютним значенням відстані тільки тоді, коли рух точки починається від початку відліку і відбувається по траєкторії в одному напрямі.
Задати рух точки можна одним із трьох способів: натуральним, координатним або векторним.
1. Натуральний спосіб. Цим способом користуються в тому випадку, коли траєкторія руху точки відома.
|
|
|
Спосіб задання руху точки у виглядіs=f(t)називаєтьсянатуральним.
Отже, при натуральному способі задання руху точки повинні бути відомі:
– траєкторія точки в обраній системі відліку;
– початок відліку на траєкторії і додатний напрямок відліку;
– закон руху точки вздовж траєкторії: s=f(t) (рис. 21).
2. Координатний спосіб. Через те, що траєкторія руху точки відома далеко не завжди, на практиці частіше користуються координатним способом задання руху.
Положення точки по відношенню до даної системи відлікуОxyz можна визначити її декартовими координатами х, у, z(рис.22).
Під час руху точки Мїї координати будуть змінюватись з плином часу, тобто будуть деякими функціями аргументуt:
x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t).
Якщо весь час точка рухається в одній площині, то, обравши останню за площинуОху, рух точки можна визначити двома рівняннями руху:
х = f1(t), y = f2(t).
Якщо ж точка рухається прямолінійно, то траєкторію її руху (пряму) можна обрати за одну із координатних осей, наприклад, х. Рух точки в такому випадку буде описуватись одним рівнянням:
х=f(t).
Рівняння руху точки тут є одночасно і рівняннями її траєкторії.
3. Векторний спосіб. Положення точки в будь-який момент часу можна визначити за допомогою вектора
, проведеного із деякої точки О в дану точку М (рис.23).
|
|
|
Вектор називається радіусом-вектором точки М. Оскільки з плином часу модуль і напрямок вектора змінюються, то він є векторною функцією часу:
.
Це рівняння називається рівнянням руху точки у векторній формі.
Крива, яку описує кінець якого-небудь вектора за умови, що його початок знаходиться весь час в одній і тій же точці, називається годографом вектора. Отже, траєкторією точки М є годограф радіуса-вектора .
Зв'язок між векторним і координатним способами легко встановити, якщо ввести одиничні вектори (орти) осей 
, 
, 
, тобто такі вектори, які чисельно дорівнюють одиниці й напрямлені вздовж осейx, y, z (рис.23). Обравши точку О за початок прямокутної системи координат і розклавши радіус-вектор по осях координат, маємо вираз для визначення положення точкиМ:
.
Векторний спосіб задання руху достатньо зручний для встановлення загальних закономірностей. Він дозволяє описати рух точки одним рівнянням на відміну від координатного, де кількість рівнянь дорівнює трьом. Але при розв'язуванні конкретних задач, коли вимагається чисельний результат, частіше зручнішими є координатний або натуральний способи.
|
|
|
Приклади розв’язання задач
Задача 1. Кут нахилу кривошипа ОD, що приводить в рух лінійку еліпсографа, змінюється за законом φ=2t (φ – в радіанах, t – в секундах). OD=AD=DB=0,2м. Скласти рівняння руху точки М лінійки еліпсографа, якщо АМ=МD=0,1м, та знайти рівняння траєкторії цієї точки (рис.24).
Розв’язання
Оскільки точка М рухається в площині, то її положення визначається двома координатами xМ, yМ. Оберемо координатні осі, взявши за початок прямокутної системи координат нерухому точку О кривошипа. Далі визначимо координати точки М. Як видно з рисунка:
;
.
Тому 
, 
є рівняннями руху точки М.
Для визначення траєкторії руху точки М необхідно з рівнянь руху виключити час t:
, 
.
Ці рівняння піднесемо до квадрату і додамо їх:
або
.
Отже, траєкторією руху точки М є еліпс, напівосі якого дорівнюють 0,1м та 0,3м.
Задача 2.Рух матеріальної точки задано рівняннями х=2t–4 і у=2–3t (х, у – в метрах, t – в секундах). Знайти рівняння її траєкторії в координатній формі та вказати на рисунку напрямок руху (рис. 25).
Розв’язання
Щоб знайти рівняння траєкторії точки, треба з двох рівнянь руху виключити параметр t. Для цього перше рівняння домножимо на три, а друге на два і додамо їх:
3х=6t–12,
2у=–6t+4.
Дістанемо 3х+2у+8=0 – це рівняння прямої.
Побудуємо цю пряму в координатах Оxy:
х=0; у= – 4;
у=0; х= – 8/3.
Для визначення початкового положення точки знайдемо її координати при t=0. Підставляючи у рівняння руху точки t=0, будемо мати х= – 4; у=2; М0(– 4; 2).
Оберемо наступний момент часу, наприклад, t=2c, дістанемо:
; 
; М1(0; – 4).
Отже, напрямок руху точки зверху вниз, як показано на рисунку.
Задача 3. Знайти рівняння траєкторії точки і визначити закон її руху по траєкторії, відраховуючи відстань від початкового положення, що відповідає t=0, якщо рівняння руху точки мають вигляд:
; 
(х і у– в метрах, t – в секундах).
Розв’язання
Спочатку визначимо траєкторію точки, для чого перепишемо рівняння у вигляді:
;
.
Кожне з цих рівнянь піднесемо до квадрату і додамо їх, дістанемо рівняння траєкторії у вигляді:
.
Отже, траєкторією руху є коло радіусом R=4м з центром в точці (2; –1).
Для знаходження закону руху точки вздовж траєкторії визначимо спочатку диференціал дуги траєкторії:
.
Оскільки 
; 
,то
.
Отже, 
.
Для визначення сталої інтегрування С враховуємо початкові умови руху точки: при t=0, s=0. Тоді С=0.
Таким чином, закон руху точки має вигляд: s=20t (м).
Питання для самоконтролю
1.Що вивчає кінематика? Які завдання вона вирішує?
2.Дати означення початковому моменту часу, даному моменту часу, проміжку часу.
3.Що називається траєкторією руху точки, системою відліку? Які бувають траєкторії?
4.Що таке відстань і пройдений шлях? Коли ці поняття збігаються?
5.Як задати рух точки натуральним способом?
6.Як задається рух точки векторним способом? Що таке годограф радіуса-вектора?
7.Координатний спосіб задання руху точки у випадках просторового, плоского та прямолінійного рухів.
8.Зв’язок векторного та координатного способів задання руху точки.
Дата добавления: 2018-05-31; просмотров: 1035; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!