Задачі для самостійного розв’язання

Задача 3.3. Визначити реакції опор А і В балки, що перебуває під дією двох зосереджених сил і рівномірно розподіленого навантаження. Інтенсивність розподіленого навантаження, величини сил і розміри вказані на рисунку.

Задача 3.4. Визначити реакції защемлення консольної балки, що перебуває під дією рівномірно розподіленого навантаження, однієї зосередженої сили і двох пар сил.

Задача 3.5. Однорідна плита АВ вагою Р=100Н вільно спирається в точці А і утримується під кутом  до горизонту двома стержнями BC і BD. BCD – рівносторонній трикутник. Точки C і D лежать на вертикальній прямій CD. Нехтуючи вагою стержнів і вважаючи закріплення в точках B, C і D шарнірним, визначити реакцію опори А і зусилля в стержнях.

Задача 3.6. Однорідна балка АВ вагою Р=100Н прикріплена до стінки шарніром А і утримується під кутом  до вертикалі за допомогою троса, який перекинутий через блок і несе вантаж G. Частина ВС троса утворює з вертикаллю кут . У точці D до балки підвішено вантаж Q вагою 200Н. Визначити вагу вантажу G і реакцію шарніра А, нехтуючи тертям в блоці, якщо BD= АB.

Відповідь: G=146H, X_A=73Н, Y_A=173H.

Задача 3.7. Кран для підйому вантажу складається із балки АВ, нижній кінець якої з’єднаний зі стінкою шарніром А, а верхній утримується горизонтальним тросом ВС. Визначити натяг Т троса ВС і тиск на опору А, якщо відомо, що вага вантажу Р=2кН, вага балки АВ дорівнює 1кН і прикладена посередині балки, а кут .

Задача 3.10. Однорідна балка АВ вагою 200 Н спирається на гладеньку горизонтальну підлогу в точці В під кутом  і, крім цього, підтримується двома опорами С і D. Визначити реакції опор в точках В, С і D, якщо довжина АВ=3 м; ВС=CD=0,5 м.

Відповідь: R_В=200Н, R_С=300Н, R_D=300Н.

Практичне заняття №4

Тема: Просторова система сил

Програмні питання

Просторова система сил. Момент сили відносно осі. Послідовність його визначення, часткові випадки. Обчислення головного вектора і головного моменту просторової системи сил. Зведення просторової системи сил до найпростішого вигляду. Рівновага довільної просторової системи сил. Випадки збіжних і паралельних сил.

Література

1. Курок В.П. Технічна механіка. Курс лекцій: навч. посіб. для студ. вищих навч. закл. – К.: Пед. преса, 2007. – 272с., л.9.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1986. – 416с., §§28 – 30.

3. Никитин Е.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Наука, 1983. – 400с., §§32 – 36.

4. Цасюк В.В. Теоретична механіка: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2004. – 402с., §§4.1 – 4.8.

5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука, 1986. – 448с.

Короткі теоретичні відомості

Проекція вектора , тобто моменту сили  відносно центра О, на яку-небудь вісь z, що проходить через цей центр (рис. 15), називається моментом сили  відносно осі z, тобто

 або ,

де  – момент сили  відносно осі z, γ – кут між вектором  і віссю z.

Із означення виходить, що , як проекція вектора на вісь, величина алгебраїчна. Знак  визначається так само, як і знак проекції будь-якого вектора, у нашому випадку >0.

Знайдемо ще один вираз для визначення цієї величини. Для цього через довільну точку О₁ осі z (див. рис.15) проведемо площину (xy), перпендикулярну цій осі, й спроектуємо ∆ОАВ на цю площину. Оскільки вектор  перпендикулярний площині ОАВ, а вісь z перпендикулярна ΔО₁А₁В₁, то кут γ, як кут між нормалями до цих площин, буде кутом між цими площинами. Тоді:

 або .

Отже, момент сили  відносно осі zдорівнює алгебраїчному моменту проекції цієї сили на площину, перпендикулярну осі z, взятому відносно точки О₁ перетину осі з цією площиною.

Це є друге означення моменту сили відносно осі.

Момент сили відносно осі буде мати знак плюс, коли з додатного кінця осі поворот, що прагне здійснити сила , бачиться проти ходу годинникової стрілки, а знак мінус – за ходом годинникової стрілки.

Послідовність обчислення моменту сили відносно осі (рис.16):

1) необхідно провести площину (xy), перпендикулярну осі z;

2) спроектувати силу  на цю площину і знайти величину F_xy;

3) опустити із точки перетину О осі з площиною перпендикуляр на лінію дії  і знайти його довжину h;

4) обчислити добуток F_xy·h;

5) визначити знак моменту.

Поодинокі випадки:

1) якщо сила паралельна осі, то її момент відносно осі дорівнює нулю (оскільки F_xy=0);

2) якщо лінія дії сили перетинає вісь, то її момент відносно осі також дорівнює нулю ( оскільки h=0) ;

3) якщо сила перпендикулярна осі, то її момент відносно цієї осі дорівнює взятому з відповідним знаком добутку модуля сили на відстань між лінією дії сили і віссю.

Поєднуючи пункти 1 і 2, відзначимо, що момент сили відносно осі дорівнює нулю, якщо сила і вісь лежать в одній площині.

Необхідні й достатні умови рівноваги будь-якої системи сил виражаються рівностями , . Але вектори  та  дорівнюють нулю тільки тоді, коли  і , тобто коли:

Таким чином, для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб суми проекцій всіх сил на кожну з трьох координатних осей і алгебраїчні суми їх моментів відносно цих осей дорівнювали нулю.

Випадок збіжних сил. Для рівноваги просторової системи збіжних сил має виконуватись рівність . Аналітично модуль головного вектора визначається за формулою:

Оскільки під коренем стоїть сума додатних складових, то Rможе дорівнювати нулю тільки тоді, коли одночасно R_x=0, R_y=0, R_z=0,тобто коли сили, що діють на тіло, будуть задовольняти рівності:

Ці рівності і виражають умови рівноваги системи збіжних сил в аналітичній формі: для рівноваги просторової системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій цих сил на кожну з трьох координатних осей дорівнювали нулю.

Випадок паралельних сил. Якщо всі сили, що діють на тіло, паралельні одна одній, можна обрати координатні осі таким чином, щоб вісь z була паралельна силам (рис.17). Тоді проекції кожної із сил на осі x та y і їх моменти відносно осі z будуть дорівнювати О, тому будемо мати тільки три умови:

Отже, для рівноваги просторової системи паралельних сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума проекцій всіх сил на вісь, паралельну силам, і алгебраїчні суми їх моментів відносно двох інших координатних осей дорівнювали нулю.

Приклади розв’язання задач

Проведемо осі координат із точки В, вісь z напрямимо вздовж стовпа АВ, вісь y – паралельно дроту АЕ, а вісь x – перпендикулярно до осей y і z.

Позначимо АСВ= ADB=α.

;                                                           (4)

.

Розв’язуючи це рівняння, визначимо реакцію R_B:

.

;

Далі визначаємо реакцію R_A з рівняння (4):

 (кH).

Обчисливши реакції рейок ,  та , можна стверджувати, що тиск коліс на рейки ,  та  за модулем дорівнює знайденим реакціям, тобто:

T_A=R_A=31,25(кН), T_B=R_B=68,75(кН), T_C=R_C=200(кН).

Задача 3. На горизонтальний вал АВ насаджені зубчате колесо 1 діаметром D=1,2м і шестерня 2, діаметр якої d=40см. Решта розмірів вказані на рисунку. До колеса 1 по дотичній прикладена горизонтальна сила Р=1кН, а до шестерні 2 також по дотичній прикладена вертикальна сила Q. Визначити силу Q і реакції підшипників А і В у стані рівноваги. Масу деталей до уваги не брати (рис.20).

Розв’язання

Розглянемо рівновагу вала із зубчатим колесом і шестернею. Реакції підшипників А і В розміщені в площинах перпендикулярних до осі вала (рис.20). Тому розкладемо кожну з цих реакцій на дві взаємноперпендикулярні складові ,  і ,  відповідно. Отже, на згадану систему тіл діє просторова система шести сил, п’ять з яких: , , ,  та  невідомі за величиною. Складемо рівняння рівноваги просторової системи довільно розміщених сил:

;                           (1)

;                            (2)

;               (3)

;                    (4)

.      (5)

Розв’язуючи рівняння (4), дістанемо:

.

З рівняння (3) знайдемо реакцію Z_B:

.

З рівняння (5):

.

З рівняння (2):

.

З першого рівняння маємо:

Знак «мінус» у реакцій Х_А, Z_A, X_B, Z_B показує, що ці реакції мають напрямки, протилежні показаним на рисунку.

Питання для самоконтролю

1. Дати визначення моменту сили відносно осі. Як визначається його знак?

2. Послідовність обчислення моменту сили відносно осі. Часткові випадки.

3. Привести аналітичні формули для обчислення моментів сили відносно координатних осей.

4. Як обчислюється головний вектор та головний момент просторової системи сил?

5. До якого найпростішого вигляду зводиться просторова система сил, яка не перебуває у рівновазі?

6. Сформулювати умови рівноваги просторової системи збіжних сил.

7. Сформулювати умови рівноваги просторової системи паралельних сил.

8. Сформулювати умови рівноваги довільної просторової системи сил.

Мы поможем в написании ваших работ!