Тема: Система паралельних сил. Центр ваги

Програмні питання

Додавання двох паралельних сил, напрямлених в один і різні боки. Додавання багатьох паралельних сил. Момент сили відносно точки (центра). Пара сил. Момент пари. Алгебраїчні моменти сили відносно центра та пари сил. Еквівалентність пар, їх додавання. Умови рівноваги системи пар.

Центр системи паралельних сил. Аналітичні формули для визначення координат центра системи паралельних сил. Вага твердого тіла. Центр ваги тіла. Знаходження координат центрів ваги однорідних тіл.

 

Література

1. Курок В.П. Технічна механіка. Курс лекцій: навч. посіб. для студ. вищих навч. закл. – К.: Пед. преса, 2007. – 272с., л.4, л.5.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1986. – 416с., §§11, 16, 31 – 35.

3. Никитин Е.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Наука, 1983. – 400с., §§13 – 15, 27, 37 – 41.

4. Цасюк В.В. Теоретична механіка: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2004. – 402с., §§7.1 – 7.7.

5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука, 1986. – 448с.

 

Короткі теоретичні відомості

Паралельними називаються сили, лінії дії яких паралельні одна одній.

Моментом сили  відносно центра О називається прикладений у центрі О вектор , модуль якого дорівнює добутку модуля сили F на її плече h і який напрямлений перпендикулярно площині, що проходить через центр О і силу, в той бік, звідки сила бачиться такою, що намагається повернути тіло навколо центра О проти ходу годинникової стрілки (рис.6).

Згідно цього означення:

Формула, що виражає вектор :

 або ,

де  – радіус-вектор точки А, проведений із центра О.

Алгебраїчний момент сили  відносно центра О дорівнює взятому з відповідним знаком добутку модуля сили на її плече, тобто:

.

При цьому момент сили вважається додатним, коли сила намагається повернути тіло навколо центра О проти ходу годинникової стрілки, і від’ємним – за ходом годинникової стрілки.

Парою сил називається система двох паралельних сил, що мають однакові модулі й протилежні напрями (рис.7,а).

Моментом пари сил називається вектор  (або ), модуль якого дорівнює добутку модуля однієї із сил на її плече і який напрямлений перпендикулярно площині дії пари в той бік, звідки пара бачиться такою, що намагається повернути тіло проти ходу годинникової стрілки (рис.7,б).

Модуль моменту пари визначається так:

Алгебраїчний момент пари дорівнює взятому з відповідним знаком добутку модуля однієї із сил на плече пари:

.

Знак моменту пари визначається аналогічно, як і для моменту сили відносно центра.

Центром системи паралельних сил називається точка прикладання їх рівнодійної С, положення якої залежить тільки від модулів паралельних сил та від точок їх прикладання і не залежить від напрямку сил.

Формули для визначення координат центра паралельних сил:

де R – рівнодійна системи паралельних сил; F_k – складові сили системи; х_k, у_k, z_k– координати точок їх прикладання.

Зазначимо, що ці формули будуть справедливі й для паралельних сил, напрямлених у різні боки, якщо вважати F_kвеличинами алгебраїчними і якщо R≠0.

На кожну частинку тіла, що знаходиться поблизу земної поверхні, діє напрямлена вертикально вниз сила, яку називають силою ваги.

Координати центра ваги, як центра паралельних сил, визначаються за формулами:

де Р – сила ваги тіла; р_k – сили ваги частинок тіла; х_k, у_k, z_k– координати точок їх прикладання.

Для однорідного тіла вага  будь-якої його частинки пропорційна об’єму v_к цієї частинки: , а Р=γV, де γ–вага одиниці об’єму. Підставимо ці значення у формули, матимемо:

Точку С, координати якої обчислюються за зазначеними формулами, в цьому випадку називають центром ваги об’єму V.

Якщо тіло є однорідною тонкою платівкою, тоді:

де S – площа всієї платівки; s_k – площа її частин. Точку С, координати якої обчислюють, називають центром ваги площі S.

Аналогічно формула для центра ваги лінії L:

,

де L – довжина всієї лінії, – довжина її частинок.

Таким чином, центр ваги однорідного тіла визначається як центр ваги відповідно об’єму, площі або лінії.

Якщо на тіло діють паралельні сили, можна напрямити вісь Ох перпендикулярно силам, а вісь Оу буде паралельна їм (рис. 8). Тоді проекція кожної із сил на вісь Охбуде дорівнювати нулю. Тому для плоскої системи паралельних сил можна записати дві умови, які виражають її рівновагу:

,

де вісь Оу – паралельна силам.

Отже, для рівноваги плоскої системи паралельних сил необхідно і достатньо, щоб сума проекцій всіх сил на вісь, паралельну їх лініям дії, і алгебраїчна сума їх моментів відносно будь-якого центра, що лежить у площині дії сил, дорівнювали нулю.

Приклади розв’язання задач

Задача 1. Однорідний стержень АВ завдовжки 2м і вагою Р=40Н підвішений горизонтально на двох паралельних мотузках АС і ВD. До стержня в точці Е на відстані АЕ= АВ підвішений вантаж Q=100H. Визначити натяги мотузок Т_С і Т_D (рис.9).

Розв’язання

Розглянемо рівновагу стержня. Він перебуває під дією відомих сил і , напрямлених вертикально вниз. Реакції мотузок напрямлені вздовж них вгору. Отже, сили ,  та  утворюють плоску систему паралельних сил, умовами рівноваги якої є:

, .

Оберемо координатні осі таким чином, щоб вісь Ау була напрямлена вздовж мотузки АС, а вісь Ах – вздовж стержня АВ. Тоді маємо:

;

Обчислення дають:

(Н);

(Н).

 

Задача 2.Визначити положення центра ваги однорідного диска з круглим отвором (рис.10), якщо радіус диска дорівнює R₁, радіус отвору R₂ і центр цього отвору знаходиться на відстані  від центра диска.

Розв’язання

Центр ваги диска лежить на осі ОО₁, оскільки ця лінія є віссю симетрії. Напрямимо вздовж ОО₁ координатну вісь Ох. Для знаходження координати x_c доповнимо площу диска до повного круга, а потім віднімемо від отриманої площі площу вирізаного круга радіусом R₂. Тоді маємо:

; ; ; ; .

За формулою для координати х_с маємо:

.

 

Питання для самоконтролю

1. Які сили називаються паралельними, антипаралельними?

2. Чому дорівнює рівнодійна двох паралельних сил, напрямлених в один бік?

3. Як визначається рівнодійна двох антипаралельних сил?

4. Як додати багато паралельних сил, напрямлених в один і різні боки?

5. Що називається моментом сили відносно центра (точки)?

6. Момент сили як вектор, його властивості.

7. Що називається парою сил?

8. Що називається моментом пари сил?

9. Сформулювати та довести теорему про еквівалентність пар сил.

10. Дати означення алгебраїчному моменту сили відносно центра та алгебраїчному моменту пари сил. Як визначається їх знак?

11. Дати означення центру системи паралельних сил. Від чого залежить його положення?

12. За якими формулами визначається положення центра системи паралельних сил аналітичним способом?

13. Яка сила називається силою ваги тіла? Як визначаються координати центра ваги твердого тіла?

14. За якими формулами визначаються координати центра ваги плоского, об¢ємного тіла?

15. Сформулювати умови рівноваги плоскої системи паралельних сил.

---

Дата добавления: 2018-05-31; просмотров: 2258; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!