Арифметические свойства сходящихся рядов
Теорема. Пусть ряды 
и 
сходятся, и их суммы равны, соответственно, 
и 
. Тогда ряды 
и 
, полученные почленным сложением и вычитанием исходных рядов, также сходятся, и их суммы равны, соответственно, 
и 
.
Доказательство. Пусть 
и 
— частичные суммы исходных рядов. Тогда числа 
и 
являются частичными суммами рядов, полученных почленным сложением и вычитанием. По свойствам предела:
. ■
Теорема. Пусть ряд сходится, и его сумма равна . Тогда ряд 
, полученный почленным умножением исходного ряда на постоянное число 
, также сходится, и его сумма равна 
.
Доказательство. Пусть — частичная сумма исходного ряда. Тогда частичная сумма нового ряда:
.
Поэтому
. ■
Итак, сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать на постоянное число.
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 24; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!