Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Определение. Математическим ожиданиемнепрерывной случайной величины Х называют среднее значение Х, которое определяется равенством 
,
где 
плотность распределения непрерывной случайной величины Х.
В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу 
, то 
.
Все свойства математического ожидания, указанные для дискретной случайной величины, сохраняются и для непрерывных случайных величин.
Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох определяются равенством 
,
или равносильным равенством:
.
В частности, если все возможные значения 
, то
.
Все свойства дисперсии, указанные для дискретной случайной величины сохраняются и для непрерывной случайной величины
Определение. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной случайной величины 
.
Определение. Модой 
для непрерывных случайных величин Хназывается точка максимума плотности распределения. Мода может быть не единственной.
Определение. Медианой 
случайной величины Х называется то ее значение, для которого 
.
У дискретной случайной величины может не существовать медианы.
Кроме характеристик положения – средних типичных значений случайной величины – употребляется еще ряд характеристик: например, так называемые моменты.
Теоретические моменты
|
|
|
Определение. Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой случайной величины:
(для дискретной случайной величины)
(для непрерывной случайной величины)
Определение. Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания.
(для дискретной случайной величины)
(для непрерывной случайной величины)
Очевидно, что если
· 
, то 
· 
, то центральные моменты выражаются через начальные по формулам:
Центральные моменты характеризуют рассеяние случайной величины Х.
Пример. Дана функция 
При каком значении а функция 
является плотностью распределения случайной величины Х? Определить начальные и центральные моменты первых четырех порядков.
Решение. Для нахождения а имеем уравнение:
откуда
Находим начальные моменты:
Находим центральные моменты:
(действительно, кривая имеет вертикальную оси симметрии);
Коэффициент асимметрии
третий центральный может служить для характеристики асимметрии (или «скошенности») распределения.
|
|
|
Дело в том, что нечетные моменты для распределения, симметричного относительно математического ожидания, равны 0, как интервалы (см. 
для непрерывной случайной величины) от нечетной функции в симметричных пределах.
Если же распределение не симметрично относительно математического ожидания, то подынтегральная функция в интеграле для непрерывной случайной величины не является симметричной относительно математического ожидания и интеграл для непрерывной случайной величины не равен нулю, если 
нечетное.
Естественно поэтому в качестве характеристики асимметрии рассмотреть какой-либо из нечетных центральных моментов.
для любых распределений. наиболее простой из нечетных центральных моментов. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную характеристику асимметрии, 
делят на 
и берут в качестве «коэффициента асимметрии» или просто «асимметрии» величину:
.
Как связаны между собой тип кривой распределения и коэффициент асимметрии поясняют рисунки 6 – 8.
|
Рис. 6 Симметричное распределение | |
| 
|
Рис. 7. Более «длинная» ветвь кривой справа 
| Рис. 8. Более «длинная» ветвь кривой слева 
|
Эксцесс
четвертый центральный момент служит для характеристики «эксцесса» распределения, т.е. «островершинности» или «плосковершинности» распределения.
|
|
|
Определение. Эксцессом распределения называют характеристику, которая определяется равенством
.
делится на 
, чтобы получить безразмерную характеристику. Число 3 вычитается из отношения 
потому, что для весьма важного и широкого распространенного в природе нормального распределения (с которым мы познакомимся позже) 
.
Таким образом, для нормального распределения 
(и 
).
Если 
, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой (рис. 9).
Рис. 9
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 246; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!