Вероятность появления хотя бы одного события
В некоторых случаях вероятность события удобнее подсчитывать как вероятность противоположного другому событию.
Пусть события 
независимы и известны вероятности этих событий:
.
Обозначив вероятности противоположных событий
,
найдем вероятность того, что ни одно из событий 
в опыте не наступит:
.
В этом случае искомая вероятность, т.е. вероятность появления хотя бы одного события определяется как вероятность противоположного события: 
.
Пример. Производится 2 выстрела по мишени. Вероятности попаданий при этом равны 0,5 и 0,6. Найти вероятности того, что в мишени будет: а) ровно одна пробоина; б) хотя бы одна пробоина.
Решение. Обозначим события: А– ровно одна пробоина; В – хотя бы одна пробоина; 
попадание при I выстреле; 
попадание при II выстреле.
а) если ровно одна пробоина, то 
, причем слагаемые несовместны, а сомножители независимы.
Для вероятности:
б) В– хотя бы одна пробоина, 
ни одной пробоины. 
.
.
Ответ: 0,8.
Формула полной вероятности
Следствием основных теорем сложения и умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности.
Теорема. Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из событий 
, образующих полную группу несовместных событий, называемых гипотезами ( 
независимые и 
). Тогда вероятность события Авычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе, т.е.
|
|
|
.
Доказательство. Т.к. гипотезы образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез: 
.
Так как гипотезы несовместны, то и их комбинации 
несовместны. Применим к ним теорему сложения вероятностей: 
.
Применяя к событию 
теорему умножения, получим:
.
Тогда
.
Теорема доказана.
Пример. Продукция 3 фабрик ювелирных изделий поступает на продажу в магазин. Вероятность брака на 1 фабрике равна 0,2, а на второй и третьей фабрике 0,1. Какова вероятность покупки одного небракованного изделия в магазине, если 30% всей продукции в магазине изготавливается на 1 фабрике, 50% - на второй и 20% - на третьей фабриках?
Решение. Обозначим события: А– купленное изделие не имеет брака. Выдвигаем гипотезы: 
купленное изделие изготовлено на первой фабрике; 
купленное изделие изготовлено на второй фабрике; 
купленное изделие изготовлено на третьей фабрике: 
образуют полную группу событий: 
.
После наступления одного из событий 
или 
, т.е. куплено изделие одной из фабрик, определяем, браковано оно или нет.
Условная вероятность события А – изделие не имеет брака при гипотезах и соответственно равны: 
(т.к. вероятность брака на I фабрике равна 0,2, а это событие противоположно тому, что изделие 1 фабрики не бракованное);
|
|
|
; 
.
Тогда по формуле полной вероятности:
.
Формула Бейеса
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез или формула Бейеса.
Поставим следующую задачу.
Пусть имеется полная группа несовместных событий 
. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно 
. Произведен опыт, в результате которого наблюдалось появление события А. Спрашивается, как следует переоценить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?
Теорема. Условная вероятность для каждой гипотезы 
при условии, что событие А произошло, равно отношению произведения вероятности гипотезы до наступления события Аи условной вероятности А при наступлении к полной вероятности события А, т.е.
.
(доказательство после примера)
Пример. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена 1 пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.
|
|
|
Решение. До опыта возможна следующие гипотезы: ни первый, ни второй стрелок не попадет; оба стрелка попадут; 
первый попадет, второй промахнется; 
первый промахнется, второй попадет.
Вероятности этих гипотез:
(Проверка: 
)
Значит, 
образуют полную группу несовместных событий.
Условные вероятности события А – «в мишени одна пробоина», при этих гипотезах равны:
; 
; 
; 
.
После наступления события А переоценим условные вероятности гипотез при условии, что Апроизошло. По формуле Бейеса:
Следовательно, вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку, равна 
.
Доказательство теоремы. 
находим из условия
. Получим 
. Теорема доказана.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 585; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!