Опыт с равновероятными исходами
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Случайные события. Вероятность
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений.
Пример 1. Количество пассажиров в автобусе №7 с 8.00 до 9.00 – явление случайное, но массовое.
Основными понятиями теории вероятностей являются события и их вероятность.
Определение. Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Пример 2.
1) опыт: подбрасывание монеты; случайное событие А – «выпадение герба», В – «выпадение решки».
2) опыт: выстрел по мишени; событие А – поражение мишени, В– промах.
События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита и образуют пространство элементарных событий.
Во всех перечисленных случаях невозможно предсказать, произойдет или не произойдет событие. Изучать случайное событие можно только тогда, когда есть хотя бы принципиальная возможность повторить опыт многократно, и каждый раз фиксировать осуществление (или неосуществление) рассматриваемого события.
При выполнении этого условия можно ввести понятия о частоте случайного события.
Пусть при п- кратном осуществлении опыта событие наступило траз, тогда отношение 
даст частоту случайного события.
Определение. Количественная характеристика, показывающая объективную возможность появления события, называется вероятностью события (обозначается 
).
|
|
|
Чем больше вероятность события, тем более возможным оказывается его появление.
формула непосредственного подсчета вероятности, (классическое определение вероятности).
Пример 3. Французский естествоиспытатель Бюффон при изучении закона больших чисел провел опыт с подбрасыванием монеты 4040 раз. Герб выл 2048 раз. Следовательно, частота события А или вероятность выпадения герба: 
.
Определение. Событие, всегда осуществляющееся при проведении опыта, называют достоверным событием. Вероятность достоверного события равна 1. 
, если 
достоверное.
Пример 4. Опыт: определение возраста произвольного студента группы Р-201. Событие А – студенту больше 17 лет, .
Пример 5. Опыт: бросание двух игральных костей. Событие В– выпадение очков, сумма которых меньше 13, 
.
Определение. В том случае, когда событие заведомо не может произойти в результате опыта, его называют невозможным. Вероятность невозможного события равна нулю.
Пример 6. В урне находятся только белые шары. Опыт: извлечение шара из урны. Событие А – извлечение белого шара; событие В– извлечение черного шара. 
.
Если событие F не является ни достоверным, ни невозможным, то его вероятность принимает значение от 0 до 1, т.е. 
.
|
|
|
Аксиома. Каждому случайному событию А соответствует определенное число 
, называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию 
.
Для непосредственного подсчета вероятностей события используется формула: 
где п – число всех равновозможных исходов опыта; т – число случаев, благоприятствующих наступлению события А.
Пример 7. Какова вероятность достать белый шар из урны, где находится 8 белых и 4 красных шара?
Решение. 
белых шаров.
Опыт: извлечение шара. Событие А– извлечен шар, оказавшийся белый.
.
Определение. События Аи В называются равносильными(равными), если А происходит тогда и только тогда, когда происходит В 
.
Пример 8. Опыт подбрасывания игральной кости. События А – выпадение «6», В– выпала грань с наибольшим возможным номером 
.
Определение. Для каждого события Аможно рассматривать событие, заключающееся в том, что событие А не произошло. Его называют противоположным к А и обозначают 
.
Определение. Два события называются несовместными в данном опыте, если они не могут появиться вместе в данном опыте.
Пример 9. А – идет дождь; В – светит солнце.
Для событий вводятся операции сложения и умножения:
|
|
|
Определение. Суммой (объединением) событий 
и 
называется событие А, которое осуществляется в том случае, когда происходит хотя бы одно из событий и , т.е. 
.
Пример 10. Опыт: из колоды вынимается 1 карта. События 
оказалась дама; 
карта пиковой масти.
Тогда событие состоит в том, что выбрана дама или карта пиковой масти.
Определение. Произведением (пересечением) событий и называется событие А, осуществляющееся только в том случае, когда события и происходят одновременно, т.е. 
.
Пример 11. В предыдущем примере возьмем и . Их произведение 
выбрана дама пик.
Для операций сложения и умножения справедливы следующие законы:
1) 
коммутативность сложения;
2) 
ассоциативность сложения;
3) 
коммутативность умножения;
4) 
ассоциативность умножения;
5) 
дистрибутивность.
Определения суммы и произведения двух событий обобщаются на случай любого конечного числа слагаемых и сомножителей.
Определение. События 
называются попарно несовместными, если любые два из этих событий несовместны.
Определение. События 
образуют полную группу событий, если в результате опыта должно произойти хотя бы одно из них, т.е. их сумма – достоверное событие: 
Опыт с равновероятными исходами
|
|
|
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 717; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!