N-канальная система массового обслуживания с отказами

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 24Следующая ⇒

Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским математиком Эрлангом.

Пусть в системе имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью l. Поток обслуживаний имеет интенсивность m. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает её.

Требуется найти абсолютную и относительную пропускную способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (среднее число занятых каналов).

Состояние системы S (СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):

- S₀ – в СМО нет ни одной заявки;

- S₁ – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

- S₂ – в СМО находятся две заявки (два канала заняты, остальные свободны);

- . . .

- S_n – в СМО находится n заявок (все n каналов заняты).

Граф состояний СМО представлен на рис. 3.1.

Из состояния S₀ в состояние S₁ систему переводит поток заявок с интенсивностью l (как только приходит заявка, система переходит из S₀ в S₁). Если система находилась в состоянии S₁, и пришла ещё одна заявка, то она переходит в состояние S₂, и т. д.

Рис. 3.4. Граф состояний N-канальной СМО с отказами

Пусть система находится в состоянии S₁ (работает один канал). Он производит m обслуживаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состояния S₁ в состояние S₀ нагружена интенсивностью m. Пусть теперь система находится в состоянии S₂ (работают два канала). Чтобы ей перейти в S₁, нужно, чтобы закончил обслуживание либо первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равна 2m и т. д.

Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО определяются следующим образом.

Абсолютная пропускная способность

, шт/ед. времени,

где n – количество каналов СМО; р₀ – вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S₀).

Вероятность нахождения СМО в начальном состоянии р₀

При этом ; ; .

Относительная пропускная способность .

Абсолютная пропускная способность А = lQ.

Вероятность отказа .

Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, обслуживаемых одновременно)

Задания для самостоятельной работы

Одноканальная СМО с отказами

3.5.1 Технологическая система состоит из одного станка – многоцелевого обрабатывающего центра. На станок поступают заявки на изготовление деталей в среднем через t час. (таблица 3.1). Среднее время изготовления одной детали равно f час. Если при поступлении заявки на изготовление детали станок занят, то деталь направляется на другой станок.

Требуется определить: а) производительность работы станка, деталей в час; б) процент деталей, которые обрабатываются на данном станке; в) вероятность того, что очередная деталь будет перенаправлена на обработку на другой станок.

Таблица 3.1 – Варианты исходных данных

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
t, час.	0,5	0,45	0,6	0,3	1,1	2	0,15	0,8	0,9	1,5	2,3	0,7
f, час.	0,6	0,2	0,1	0,25	0,45	2,3	1,3	0,4	0,1	0,6	1,75	0,7

Вариант	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
t, час.	0,8	0,7	1	0,4	2	3,8	0,1	1,4	1,6	2,8	4,4	1,2
f, час.	1	0,2	0,15	0,3	0,7	4,4	2,4	0,6	0,8	1	3,3	1,2

Одноканальная СМО с ограниченной очередью

3.5.2 На участке автоматизированного производства имеется гибкий производственный модуль (ГПМ), состоящий из одного обслуживающего устройства – токарного станка с ЧПУ, накопителя для размещения очереди заявок – тактового стола, и промышленного робота.

Известно среднее время между поступающими заявками (заготовками для последующей обработки) t и среднее время обслуживания (токарной обработки заготовок по управляющей программе) f. Поскольку ёмкость накопителя ограниченна, может создаться неблагоприятная ситуация, когда очередной заявке будет отказано в обслуживании по причине отсутствия свободных ячеек в накопителе. В таком случае заготовка транспортируется на другой, свободный ГПМ, что приводит к дополнительным транспортным потерям.

Необходимо определить минимальную ёмкость накопителя, если вероятность переполнения накопителя и, следовательно, отказа от приёма очередной заявки не должна превышать P_отк. Варианты заданий приведены в таблице 3.2.

Рис. 3.5. Схема гибкого производственного модуля 16В16ПФ3РМ:
1 – токарный станок с ЧПУ мод. 16Б16Ф331; 2 – накопитель (тактовый стол);
3 – промышленный робот; 4 – стол кантования заготовок

Примечание. При решении задачи можно использовать следующие рассуждения. Пусть n – ёмкость накопителя. Тогда в зависимости от того, сколько заготовок находится в данный момент времени в системе, можно перечислить все состояния, при которых не происходит отказа в обслуживании:

0-е состояние – ни одной заготовки в системе;

1-е состояние – одна заготовка обрабатывается;

2-е состояние – одна заготовка обрабатывается, вторая находится в накопителе; и т. д.;

n-е состояние – одна заготовка обрабатывается, n находятся в накопителе.

Вероятность того, что система находится в одном из перечисленных «благоприятных» состояний, есть сумма вероятностей появления каждого из них. С учётом заданной допустимой вероятности отказа в обслуживании, можно записать следующее неравенство

P₀ + P₁ + P₂ + ... + P_n ³ 1 – P_отк.

После подстановки формулы для вероятности произвольного k-го состояния системы

(1 – r)×(1 + r + ... + rⁿ) ³ 1 – P_отк.

Сумма (1 + r + ... + rⁿ) в левой части неравенства представляет собой сумму первых n + 1 членов геометрической прогрессии, которую можно вычислить по формуле

(1 + r + ... + rⁿ) = (1 – rⁿ⁺¹)/(1 – r).

Дальнейшее решение сводится к упрощению неравенства, его логарифмированию и получению выражения, из которого можно определить минимальную ёмкость накопителя n.

Таблица 3.2 – Варианты исходных данных

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
t, мин.	43	33	22	20	21	25	35	47	26	32	21	17
f, мин.	28	21	16	17	14	20	23	22	18	24	14	12
P_отк, %	1	0,1	0,1	1	0,1	1	1	0,1	1	0,1	0,1	1

Вариант	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
t, мин.	22	39	24	30	38	48	40	30	51	38	35	24
f, мин.	12	18	17	22	25	34	26	19	37	32	23	19
P_отк, %	0,1	0,1	1	0,1	0,1	1	1	0,1	0,1	1	0,1	1

N-канальная СМО с отказами

3.5.3 Имеется технологическая система, состоящая из трёх одинаковых станков. На станок поступают заявки на изготовление деталей в среднем через t мин. Среднее время изготовления одной детали равно f мин. Если при поступлении заявки на изготовление детали все станки заняты, то деталь направляется на другой участок таких же станков.

Необходимо найти вероятности состояний и характеристики (показатели эффективности) данной СМО: а) сколько процентов направляемых деталей обрабатывается в данной системе; б) какова вероятность отказа; в) сколько станков в среднем работает одновременно; г) какова вероятность того, что все станки простаивают?

Варианты заданий приведены в таблице 3.3.

Таблица 3.3 – Варианты исходных данных

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
t, мин.	66	53	39	36	37	43	56	71	44	52	37	32
f, мин.	57	47	31	32	28	36	40	39	33	41	28	26

Вариант	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
t, мин.	39	61	41	49	59	72	62	49	76	59	56	41
f, мин.	26	33	32	39	43	54	44	35	58	52	40	35

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 1145; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!