Одноканальная система массового обслуживания с отказами

В СМО одна или более переменных, участвующих в описании системы, подчиняются вероятностному закону. Введём общепринятые для теории массового обслуживания обозначения:

 

			интенсивность потока заявок (среднее число заявок, поступивших в систему за единицу времени)
			интенсивность обслуживания (среднее число обслуженных заявок за единицу времени)
			нагрузка системы

 

Пусть система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью l. Поток обслуживаний имеет интенсивность m. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает её. Требуется найти абсолютную и относительную пропускные способности СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.

 

При описании СМО удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний. Вершины графа представляют собой различные состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состояния в состояние. Для наглядности на графе состояний системы у каждой дуги проставляют интенсивности потока событий, который переводит систему по данной дуге из состояния S _i в S _j. Такой граф называется размеченным графом состояний (рис. 3.1).

 

Рис. 3.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях: S₀ – канал свободен; S₁ – канал занят. Переход из S₀ в S₁ связан с появлением заявки и немедленным началом её обслуживания. Переход из состояния S₁ в S₀ осуществляется, как только очередное обслуживание завершится.

Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени)

, шт/ед. времени.

Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой)

.

Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной)

.

Очевидны следующие соотношения:

Q = 1 – P_отк,

P_отк = 1 – Q.

Одноканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью

Рассмотрим систему массового обслуживания (СМО), имеющую один источник заявок (требований), проходящих через единственный канал обслуживания (обслуживающее устройство, узел) (рис. 3.2).

 

Рис. 3.2. Структура одноканальной системы массового обслуживания

 

Требования поступают через интервалы времени продолжительностью в t единиц. Обслуживаются требования за интервалы времени продолжительностью в f единиц. Как только заканчивается обслуживание одного требования, канал обслуживания готов без задержек к обработке очередной заявки. Очередь заявок на обслуживание имеет одну из простейших и часто используемых дисциплин – «первым пришёл – первым обслужен».

Поведение приведённой СМО зависит от соотношения f и t. Если f > t , т. е. скорость обслуживания меньше, чем скорость поступления заявок, то образуется очередь, которая будет всё время возрастать. Если f = t и эти величины детерминированы, то число поступающих требований будет равно числу обслуженных. Если f < t, то скорость обслуживания больше, чем скорость поступления требований, и в случае детерминированных величин очередей не возникает, пропускная способность СМО достаточна для избавления от любой очереди.

 

Рис. 3.3. Граф состояний одноканальной СМО

На рис. 3.3 представлена цепь с конечным состоянием k, где l₀, l₁, ... l_k–1 – поток заявок (требований); m₁, m₂, ... m_k – поток обслуживания; нулевое состояние системы – отсутствие заявок; 1, 2, ... k – количество заявок в системе в рассматриваемый момент времени.

Используя аппарат дифференциально-разностных уравнений и условие стационарности процесса, можно записать

l₀ × P₀ = m₁× P₁ Þ P₁ = P₀ ×  Þ l₁× P₁ + m₁×P₁ = l₀×P₀ + m₂ ×P₂.

После подстановки и преобразований получаем

                                              P₂ = P₀ × ,                                                  

где P₀ – вероятность простоя канала обслуживания; P₁, P₂ – вероятности нахождения в системе соответственно одной и двух заявок.

По аналогии можно получить выражение для вероятности нахождения СМО в произвольном, k-м состоянии

                                          .    

Поскольку для рассматриваемой элементарной модели

l₀ = l₁ = .... l_{k – 1} = l,

m₁ = m₂ = .... m_k = m,

откуда окончательное выражение

                                .                                              

Определим вероятность простоя P₀

P₀ + P₁ + P₂ + ...+ P_k = 1,

P₀ = 1 – P₀ × r – P₀ r² – ... – P₀ r^k,

P₀ = 1 – P₀ r (1 + r + r² + ... + r^{k – 1}).

Выражение в скобках является геометрической прогрессией, сумма которой при r < 1 равна . Тогда искомая вероятность равна

                                         P₀ = 1 – r.                                                       

 

Приведём без вывода ряд конечных расчётных выражений для элементарной СМО. Элементарная СМО часто используется для оценочных расчётов и характеризуется следующим: одно обслуживающее устройство, мощность источника заявок неограниченна, время между поступающими и обслуженными заявками определяется по экспоненциальному распределению.

 

			среднее число требований в системе
	Т =		среднее время пребывания заявки в системе
			время нахождения заявки в очереди
			средняя длина очереди

 

---

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 580; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!