Вопрос 40. Теорема Больцано-Вейерштрасса о промежуточном значении непрерывной функции.
Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Если f непрерывная на отрезке [a,b] (fÎc[a,b]), f(a)=A, f(b)=B, то для "С заключенного между А и В, существует такая точка ξÎ[a,b], что f(ξ)=С.
Доказательство. Пусть для определенности f(a)=A<B=f(b) и A<С<B. Разделим отрезок [a,b]точкой х0 пополам, тогда либо f(x0)=C, значит искомая точка ξ=х0, либо f(x0)¹C, тогда на концах одного из полученных отрезков f принимает значения лежащие по разные стороны от числа С. Обозначим этот отрезок через [a1b1] и разделим на пополам и т.д. В результате либо через конечное число шагов придем к искомой точке ξ (т.е. f(ξ)=С), либо получим последовательность вложенных отрезков [an,bn], bn-an®0 при n®¥, и таких что f(an)<C<f(bn)(1).
Пусть ξ – общая точка всех этих отрезков, мы знаем что ξ=limn®¥an=limn®¥bn, поэтому в силу непрерывности функции f(ξ): =limn®¥f(an)= limn®¥f(bn) переходя в неравенстве (1) к пределу при n®¥, получим f(ξ)=C.
Вопрос 41. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на отрезке, и о достижении ею своих точных верхних и нижних граней.
Теорема (Вейерштрасса) о максимальном значении. Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей точной верхней и нижней грани.
Доказательство. Пусть M=supxÎ[a,b]f(x), MÎ 
, по свойству точной верхней грани, для "nÎN найдется $x=xnÎ[a,b], f(xn)ÎU(M, 
) (1). Из последовательности {xn} по теореме Больцана-Вейерштрасса можно извлечь сходящуюся подпоследовательность {xnk}, xnk®x0 при k®¥, limk®¥f(xnk)=f(x0) (2) в тоже время в силу (1) для "kÎN имеем yk:=f(xnk)ÎU(M,ek), где ek= 
¯0, это означает что limk®¥ykº limk®¥f(xnk)=M отсюда и из (2) получаем M=f(x0), что и требовалось доказать. Аналогично для f ограниченной снизу и достигающей своей точной нижней грани.
|
|
|
Вопрос 42. Теорема о мощности множества точек разрыва монотонной функции.
Теорема. Множество точек разрыва монотонной функции не более чем счетно (т.е. либо конечно, либо счетно).
Доказательство. Каждой точкой разрыва функции свяжем интервалы не содержащие значения функций, эти интервалы не пересекаются, но на прямой может быть не более чем счетное множество непересекающихся интервалов. Действительно в каждом из них можно выбрать по рациональной точке, и тогда множество интервалов окажется ~подмножеству счетного множества рациональных чисел. Значит оно само не более чем счетно. Вместе с ним не более чем счетно и множество точек разрыва монотонной функции.
Вопрос 43. Критерий непрерывности монотонной функции.
Теорема. Функция f:[a,b]®R , монотонная на [a,b], непрерывная на нем тогда и только тогда когда множество f([a,b]) ее значений само является отрезком с концами f(a) и f(b).
|
|
|
Доказательство. Пусть f– непрерывная, монотонная функция, ввиду монотонности все ее значения f(x), xÎ[a,b], лежат между f(a) и f(b). Ввиду непрерывности f обязана принимать также и все промежутки между f(a) и f(b) значения. Таким образом f([a,b]) есть отрезок с концами f(a) и f(b).
Обратное. Пусть f монотонна на [a,b], если fразрывна в некоторой точке x0, то по сл.1 $ интервал не содержащий значений функции f, но содержащийся в силу монотонности в отрезке с концами f(a) и f(b), возникло противоречие, с тем что по условию f([a,b]) это отрезок с концами f(a) и f(b).
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 891; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!