Вопрос 6. Ограниченные и неограниченные множества на R.
Множество E называется ограниченным сверху(свизу), если $b($a) "xÎE : x £ b(x ³ a), при этом a ограничивает х снизу, а число b сверху.
Множество E называется ограниченным, если оно ограниченно и сверху и снизу.
Множество Е называется неограниченным, если неограниченно ни сверху ни снизу.
Вопрос 7. Точная верхняя и точная нижняя грани. Теорема о существовании точной верхней и нижней грани.
Точная верхняя грань – b = sup E – называется наименьший элемент, который равен или больше всех элементов множества. Это число, удовлетворяющее двум свойствам:
1) (b - верхняя грань) "xÎE : x£b.
2) (нет меньшей) "e>0 $ xÎE: x > b-e.
Точная нижняя грань – а =inf E – называется наибольший элемент, который равен или меньше всех элементов множества. Это число, удовлетворяющее двум свойствам:
1) (b - нижняя грань) "xÎE : x³а.
2) (нет меньшей) "e>0 $ xÎE: x < а+e.
Теорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.
Доказательство: Пусть А – не пустое ограниченное сверху множество. Рассмотрим непустое В, элементами которого являются все числа, ограничивающие А сверху, тогда a≤b "аÎА, "bÎB. Из аксиомы непрерывности следует, что $cÎR: a≤c≤b (1), "аÎА, "bÎB. Покажем, что supA=c. Первое условие следует из левой части (1). Покажем, что второе тоже выполнено. Пусть с’<c, тогда c’ÎB, так как для "bÎB выполнена правая часть (1), следовательно c’ не ограничивает А сверху, следовательно с = sup A.
|
|
|
Вопрос 8. Принцип Архимеда.
Теорема 1. Каково бы ни было числоaÎR существует натуральное число пÎN: n>a.
Доказательство: Предположим противное: найдется такое число $а, что для всех пÎN выполняется неравенствоn≤a, следовательно а ограничивает N сверху по теореме §6, у множества N ограниченного сверху существует точная верхняя грань β = sup N. Тогда по определению верхней грани для числа β’:=β-1, $ пÎN: п> β-1. Но тогда п+1> β, что противоречит тому, что β = sup N.
Вопрос 9. Система вложенных отрезков и теорема о ее пересечении.
Система вложенных отрезков –система отрезков [a1,b1], [a2,b2], [an,bn], anÎR, bnÎR, n=1,2… называется системой вложенных отрезков если a1≤a2≤an, b1³b2³bn, [a1,b1]É[a2,b2]É[an,bn].
Теорема 1. Всякая система вложенных отрезков имеет непустое пересечение.
Доказательство: Обозначим через A множество всех левых концов A={an}, a В всех правых B={bn},для любых номеровm,nÎNвыполняется неравенство am≤bn. По свойству непрерывности действительных чисел существует число ξ(кси), am≤ ξ ≤bn, an≤ ξ ≤bn, n=1,2,…и означает что точка ξпринадлежит ко всем отрезкам [an,bn].
|
|
|
Вопрос 10. Теорема о вложенных отрезках, длины которых стремятся к нулю.
Теорема 2. Для всякой системы вложенных отрезков [an,bn]длины которых стремятся к нулю, существует единственная точка ξпринадлежащая всем отрезкам данной системы, при этом ξ =sup{an} = inf{bn}.
Доказательство: В силу данной теоремы хотя бы одна точка имеется. Покажем, что их не может быть больше одной. Пусть это не так, т.е. две ξи η– общие для всех отрезков системы. Пусть η< ξ,т.е. e:= ξ-η>0.По определению стягивающейся системы отрезков $nÎN: bn-an<e , тогда an≤η<ξ≤bn, отсюда ξ-η≤ξ-an≤bn-an<e, что противоречит выбору e.
Вопрос 11. Множества равномощные, конечные и бесконечные, счетные. Примеры.
Два множества X и Y между которыми можно установит взаимно однозначное соответствие (биекцию), равномощными (эквивалентными), говорят, что они имеют одну и ту же мощность («одинаковое» количество элементов) (пишут X~Y).
Пример: N~{2,4,6,8,10…}, N~Z,
Множество Х называется конечным, если существует n, X={1,2,…n}.
Множество, не являющееся конечным является бесконечным.
Множество называется счетным если оно эквивалентно множеству натуральных чисел(X~N).
|
|
|
Вопрос 12. Счетность множества рациональных чисел.
Теорема 1. Множество рациональных чисел счетно.
Доказательство: Распределим все рациональные числа в таблице содержащей бесконечное число строк и столбцов:
| 0 | 1 | -1 | 2 | -2 | … |
| 1 | 0/1 | 1 | -1 | 2/1 | -2/1 | … |
| 2 | 0/2 | 1/2 | -1/2 | 1 | -1 | … |
| 3 | 0/3 | 1/3 | -1/3 | 2/3 | -2/3 | … |
| … | … | … | … | … | … | … |
Нумеруем все числа, кроме тех что уже встречались. В результате все рациональные числа оказываются занумерованными, т.е. множество Y рациональных чисел счетно.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 625; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!