Вопрос 23. Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях.
Теорема Вейерштрасса: Всякая возрастающая числовая последовательность {xn} имеет предел: конечный если она ограниченна сверху или бесконечный если она не ограниченна сверху, причем limn®¥{xn}=sup{xn}(1), аналогично если xn убывающая последовательность то существует (конечный или бесконечный) предел limn®¥xn=inf(xn).
Доказательство:Пусть xn ограничено сверху, β=sup{xn}, βÎ 
. Возьмем произвольную окрестность U(β) в точке β и обозначим через β' ее левый конец.
Согласно определению верхней грани: 1) "nÎN, xn≤β'; 2) $n0ÎN, xn0>β'
Очевидно отсюда в силу возрастания последовательности {xn} следует, что для любого "n>n0, β'<xn0≤xn≤β, так что при n>n0 имеем xnÎU(β), а это и означает что β является пределом последовательности {xn}.
Аналогично рассматривается случай ограниченности {xn} снизу.
Вопрос 24. Число е. (е=2,718281828…).
Теорема: Последовательность {xn}=(1+ 
)n, n=1,2… строго возрастающая и имеет конечный предел.
Доказательство: Применив формулу бинома Ньютона 
,получим:
xn=(1+ )n=1+n + 
е:=limn®¥(1+ )n
поскольку 2<xn<3, xn возрастает, то 2<e≤3
Вопрос 25. Принцип компактности числовой прямой (теорема Больцано-Вейерштрасса). Случай неограниченных последовательностей.
Теорема (Больцано-Вейерштрасса): Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство.Пусть последавательность лежит на [a,b]É {xn}.
|
|
|
Разделим отрезок [a,b] пополам, обозначим [a1,b1] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a1,b1], его индекс обозначим n1. Разделим отрезок [a1,b1] пополам, обозначим через [a2,b2] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a2,b2] и имеющий индекс больший, чем n1, его индекс обозначим n2. Продолжая этот процесс, мы построим подпоследовательность 
. Система отрезков [ak,bk]представляет собой систему вложенных, стягивающихся к нулю отрезков (bk-ak=(b-a)/2k). Общую точку обозначим c. Так как cÎ[ak,bk], то 
. Откуда следует, что 
.
Пусть теперь последовательность {xn} неограниченна сверху тогда $ такой номер n1, что xn1>1, то последовательность xn1+2 также неограниченна, то найдется номер n2>n1, что xn2>2, продолжая этот процесс получим, что n1<n2<n3<…<nk, xnk>x, k=1,2… из последовательности вытекает lim{xnk}=+¥.
Вопрос 26. Частичные, верхний и нижний пределы последовательности. Теорема о существовании наибольшего и наименьшего частичного предела.
|
|
|
Предел подпоследовательности называется частичным пределом.
Наибольший частичный предел последовательности {xn} называется ее верхним пределом, 
, где X– множество всех частичных пределов. Аналогично, определяется нижний предел 
.
Теорема. У любой последовательности существует как верхний, так и нижний пределы.
Доказательство:Докажем существование наибольшего частичного предела, для заданной последовательности {xn} возможны два случая: 1) либо ограничена сверху, 2) либо нет.
Если неограниченна сверху, то +¥ является ее частичным пределом и очевидно наибольшим, т.е. 
n®¥=+¥. Если же {xn} ограниченна сверху, то возможны два случая: либо множество ее конечных частичных пределов, которое мы обозначим через А не пусто, либо оно пустое.
Рассмотрим А¹Æ. Из ограниченной сверху данной последовательности {xn} Þ ограниченность множества А в силу этого множество А имеет конечную точную верхнюю грань. Покажем, что β=supA является частичным пределом, т.е. βÎА. Действительно, если бы βÏА, то $ бы такое e>0, что в интервале (β-e; β+e) содержалось бы лишь конечное число членов 
и поэтому в этом интервале не было бы ни одного элемента 
, что противоречит условию 
.
|
|
|
Таким образом 
и следовательно является наибольшим элементом 
).
В оставшемся случае, т.е. когда последовательность ограниченна сверху и множество ее конечных частичных пределов пусто то (xn)n®¥=-¥.
Доказательство: В этом случае множество ее частичных пределов состоит из единственного элемента -¥, тем самым -¥ является наибольшим в этом множестве.
Аналогично доказывается для нижнего предела.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 1433; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!