Вопрос 13. Несчетность множества действительных чисел.
(НЕ ЗНАЮ НАДО ИЛИ НЕТ) Теорема 2. Любой отрезок множества действительных чисел состоит из несчетного множества точек.
Доказательство: Пусть это не так, тогда все точки отрезка [a, b], a<b можно пронумеровать, [a, b]={x1,x2…}. Выберем отрезок [a1, b1]Ì[a, b] не содержащий х1. Таким образом если выбрать отрезок [an, bn] то дальше выберем отрезок [an+1, bn+1]. Продолжая этот процесс получим систему вложенных отрезков [an, bn] такую что xn не принадлежит [an, bn], следовательно ни одна точка не принадлежит пересечению 
[an, bn] но согласно принципу вложенных отрезков существует точка ξ принадлежащая всем отрезкам. Следовательно ξ принадлежит [a, b].
Теорема 3.(Кантор). Множество всех действительных чисел несчетно.
Доказательство: Если бы множество всех действительных чисел было бы счетно, то было бы счетно любое его подмножество и любой отрезок что противоречит теореме счетности рациональных чисел(Т1) и несчетности любых отрезков(Т2).
Вопрос 14. Определение предела числовой последовательности.
Предел числовой последовательности – это число конечно или бесконечно удаленное от всех элементов этой последовательности и содержащее в своей окрестности все элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера.
Определение предела числовой последовательности: Для любого e>0 существует номер N, что все xn с номерами n>N расположены между a-e и a+e.
|
|
|
(a= 
) - "e>0 $N "n>N: |xn-a|<e
Вопрос 15. Бесконечно большие последовательности. Пределы 
и 
(a>1).
Последовательность предел которой является ¥ со знаком или без, называется бесконечно большой.
Докажем что еслиa>1,то =+¥ и =0.
a=а-1, a>0, an=(1+a)n>na,
"e>0 $n0, n0 > 
, "n>n0,
an > na > n0a > 
a = 
; 
< e
а это по определению предела и означает справедливость равенств: (1+a)n=1+ na + 
a2+…+an.
Вопрос 16. Единственность предела числовой последовательности.
Теорема 1. Числовая последовательность может иметь только 1 предел конечный или бесконечный (определенного знака).
Доказательство: Допустим противоположное, пусть существует {xn}чтоlimn®¥xn=a, limn®¥xn=b, a¹b, aÎ 
, bÎ . Возьмем непересекающиеся окрестности U=U(a) и V=V(b) точек a и b.
Согласно определению предела, вне окрестности U точки а, в частности окрестности V точки b, содержится лишь конечное число членов последовательности {xn}.Однако точка bтакже является ее пределом и по этому в ее окрестности Vдолжны находиться все члены последовательности {xn} начиная с некоторого номера, а следовательно бесконечно много ее членов, получается противоречие.
Вопрос 17. Теорема о трех последовательностях.
|
|
|
Теорема 2. Если xn≤yn≤zn n=1,2… (1), то limn®¥xn= limn®¥zn=aÎ (2), то limn®¥yn=a (3).
Доказательство: Зафиксируем произвольную окрестность U(a), в силу (2) существует такой $n1, что n>n1, xnÎU(a), и $n2, n>n2, znÎU(a), предположим, что n0=max{n1,n2}, тогда при n>n0, одновременно xnÎU(a), znÎU(a) Þ [xn, zn]ÌU(a), но ynÎ[xn, zn] (см.1) так что при n>n0, пишут ynÎU(a), это означает что limn®¥yn=a.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 715; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!