Пуассонівський (експоненціальний закон) розподілу неперервної випадкової величини.
В застосуваннях теорії ймовірностей на практиці: в теорії масового обслуговування, в дослідженні операцій, в теорії надійності мають справу з випадковими величинами, які мають експоненціальний закон розподілу.
Випадкова величина x має експоненціальний закон розподілу (показниковий розподіл) із параметром l > 0, якщо вона неперервна та її щільність ймовірностей має такий вигляд:
Тоді функція розподілу ймовірностей буде така:
(x > 0).
Таким чином,
Нормальний закон розподілу неперервної випадкової величини.
Нормальний закон розподілу задається щільністю 
Параметри 
, які входять до виразу щільності розподілу, є відповідно математичним сподіванням та середнім квадратичним відхиленням випадкової величини. Нормальний закон розподілу широко застосовується в математичній статистиці. Для обчислення ймовірності потрапляння випадкової величини, розподіленої нормально, на проміжок використовується функція Лапласа:
Часто застосовується також формула:
Ймовірність влучення нормально розподіленої величини в заданий інтервал
Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на следующей теореме.
Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:
|
|
|
Р(а<Х<b) = 
Доказательство. Р(а ≤Х<b) = F(b) — F(a).
По формуле Ньютона — Лейбница,
F(b) — F(a)= 
.
Таким образом,
Р(а 
Х<b) = 
Так как Р(а ≤Х<b) = Р(а<Х<b),то окончательно получим
Р(а<Х<b) = 
Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f (х)и прямыми х =а и х=b.
Замечание. В частности, если f (х)— четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то
Р(-а<Х<a) = Р(|Х|<a) =2 
46. Ймовірність заданого відхилення. Правило 3ᵟ
Очевидно, события, состоящие в осуществлении неравенств | X — а|<и ||Х—а|≥, — противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенства | X — а| < равна р, то вероятность неравенства |Х—а| 
равна 1—р.
Преобразуем формулу
Р (| X — а |< ) = 2Ф ( /)
положив = t. В итоге получим
Р (| X — а |< t) = 2Ф (t).
Если t = 3 и, следовательно, t =3 то
|
|
|
Р (| X—а |< 3) = 2Ф (3) = 2 * 0,49865 = 0,9973,
т, е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.
Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 232; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!