Прості та складні випадкові подій. Простір елементарних подій. Математичні операції над подіями.

Використання елементів комбінаторики у теорії ймовірності.

Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою: Pn = n!

Розміщенням із n елементів по m

(0≤m≤n) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом: = n! /(n-m)!

Комбінаціямиз n елементів по m

(0≤ m≤n) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом: = n! / m!(n-m)!

Теореми додавання ймовірностей.

Теорема 1. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Р( А È В ) = Р ( А ) + Р ( В ).

Наслідок.Ймовірність появи однієї з декількох попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Р( А₁ È А₂È …È А_n ) = P(A₁ + A₂+…+ A_n ).

Теорема 2. Нехай А та В - випадкові події. Тоді ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих двох подій без ймовірності їх сумісної появи:

R(AÈB) = R(A) + R(B) - R(AÇB)

Теорема може бути узагальнена на довільне число сумісних подій.

Теорема 3.Нехай А₁, А₂, …,А_n - випадкові події. Тоді

І теорема множення ймовірностей.

Теорема множення ймовірностей незалежних подій.Імовірність одночасного настання двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

(1)

Імовірність появи деяких подій, незалежних у сукупності, обчислюється за формулою:

(2)

Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність.

Події В і С називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У противному разі події називаються незалежними.

Імовірність події A, визначена за умови, що подія В відбулася, називається умовною і позначається P(A/B). P(A/B)= P(A B) / P(B), P(B) 0. Властивості умовної ймовірності:

1. P(A/B)=0, якщо =

2. P(A/B)=1, якщо =B

3. у решті випадків 0<P(A/B)<1.

(3)

ІІ теорема множення ймовірностей.

Теорема множення ймовірностей залежних подій. Імовірність одночасного настання двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності настання однієї з них на умовну ймовірність другої:

Ймовірність появи хоча б раз при n незалежних спробах.

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається так:

Формула застосовується, якщо

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з’явиться від mi до mj раз, обчислюється так:

Теорема Байеса (гіпотеза)

Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:

Формула повної ймовірності.

Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій (i = 1, 2,…, n), які утворюють повну групу. Тоді ймовірність події А подається формулою:

де — імовірність події — умовні ймовірності настання події А.

Наведена залежність називається формулою повної ймовірності.

14.Незалежні спроби. Методи проведення статистичних випробувань.

Теорема Бернуллі (виведення)

Імовірність однієї складної події, яке полягає в тому, що в n випробуваннях подія А настане рівно k разів і не настане n - k разів, за теоремою множення незалежних подій дорівнює . Таких складних подій може бути стільки, скільки можливо скласти комбінацій з n елементів по k елементам, тобто . Так як ці складні події несумісні, то за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій шукана ймовірність дорівнює сумі ймовірностей всіх можливих складних подій. Так як імовірності всіх цих складних подій однакові, то шукана ймовірність (поява k разів події А в n випробуваннях) дорівнює ймовірності однієї складної події, помноженої на їх кількість:

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 281; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!