Динаміка електронів, ефективна маса, електрони та дірки
Динаміка вивчає рух частинок або квазічастинок з урахуванням дискретної структури кристалів. У відсутності зовнішнього поля електрони (квазічастинки) в ідеальному кристалі з будь-якими хвильовими векторами 
(або квазіімпульсами 
) знаходяться в стаціонарних станах. Зовнішнє електричне поле 
змінює квазіімпульс електрона 
, а це змінює його групову швидкість 
, (20.30)
де 
- ефективна маса електрона, а 
- сила, що діє на електрон. Групова швидкість залежить від закону дисперсії 
[43].
. (20.31)
Комбінуючи (20.23) і (20.24), отримаємо
, (20.32)
де 
. Поділивши праву та ліву частини (20.32) на 
,остаточно отримаємо:
(20.33)
Отже, ми отримали, що квазічастинка-електрон під дією зовнішньої сили рухається в періодичному полі кристала, як вільний електрон з ефективною масою 
. Ефективна маса-це параметр, який враховує особливості руху квазічастинки - електрона в кристалі. Вона залежить від дисперсії 
і може суттєво відрізнятись від маси вільного електрона. Вона навіть може змінювати свій знак і бути від'ємною. На границях зон похідна 
, і закон дисперсії 
наближається до квадратичного закону 
, де 
- енергія квазічастинок на границі зони. Це означає, що на границях зон, де мають місце екстремуми дисперсійної залежності, дисперсійна залежність наближено може бути апроксимована квадратичним законом дисперсії, притаманним вільним квазічастинкам, але з ефективною масою 
відмінною від ефективної маси вільної частинки. Знак ефективної маси визначається знаком множника А у виразі для наближеного квадратичного закону дисперсії. Ефективна маса в цьому випадку враховує особливості зонної будови твердого тіла.
|
|
|
Скористаємося законом дисперсії моделі Кроніга-Пені (рис.20.12) і згадаємо, що квазіімпульс визначається з точністю до 
, тобто 
. Тому, крім розширених зон 
, у яких різні енергетичні зони зміщені в різні зони Бріллюена, використовують ще й так званні приведені зони, у яких усі енергетичні зони розміщені в 1-й зоні Бріллюена. Крім розширених і приведених зон на рис.20.12 наведена ще й періодична зонна структура, у якій кожна енергетична зона повторюється у всіх зонах Бріллюена.
| Рис. 20.12. Спектр електронів |
у моделі Кроніга – Пені: а) – дисперсія, б) - приведені зони, в) – періодична зонна схема. 1-ша, 2-га і 3-тя заборонені та дозволені зони.
При побудові приведених зон ділянки дисперсійної кривої переносяться вздовж осі 
на величину 
в область першої зони Бріллюена, де 
. Наприклад, рис.20.12.б 
в 2-й зоні Бріллюена зміщена на 
по осі 
, а в 3 - й зоні на 
. Нехай 1-ша й 2-га дозволені зони заповнені, а 3-тя дозволена зона незаповнена. Тоді 2-га зона буде валентною, 3-тя зона зоною провідності. Видно, що на дні зони провідності залежність 
має мінімум, тому 
і ефективна маса на дні цієї зони буде позитивною 
Залежність 
біля стелі заповненої валентної зони проходить через максимум, тому 
і ефективна маса біля стелі цієї зони буде негативною 
, (рис.20.13). Від'ємна ефективна маса означає, що квазічастинка рухається в електричному полі, як позитивно заряджена частинка.
|
|
|
| Рис.20. 13. Найпростіша дисперсійна крива (а) та залежність ефективної маси носіїв заряду від хвильового вектора (б) біля країв зони Бріллюена. |
Квазічастинка з від'ємною ефективною масою називається діркою. Вона розглядається, як квазічастинка з 
і позитивним зарядом 
. Квазічастинка з позитивною ефективною масою 
і негативним зарядом 
називається електроном.
Величина ефективної маси квазічастинок вимірюється за допомогою циклотронного резонансу (§16.7), бо його циклотронна частота залежить від ефективної маси 
Вона залежить ще й від напрямку в кристалі, бо 
це тензор, тому що ізоенергетичні поверхні в тривимірному кристалі можуть мати складну форму.
|
|
|
Ефект Холла
Безпосередній експериментальний доказ існування квазічастинок із від'ємною ефективною масою - дірок (або квазічастинок із позитивною ефективною масою, але додатнім зарядом) дає ефект Холла[44]. В ефекті Холла вимірюється різниця потенціалів 
, що виникає в провіднику зі струмом у перпендикулярному до напрямку проходження струму магнітному полі 
.На рис 20.13 зображена схема для
| Рис. 20.14. Схема вимірювання ефекту Холла (а), дія магнітного поля на дірки (б) та на електрони (в). |
вимірювання ефекту Холла. Нехай струм густиною 
, що тече вздовж осі 
провідника, утворюється рухом позитивних зарядів (рис.20.11.б). Сила Лоренца 
, що виникає під дією магнітного поля у речовині 
відхиляє позитивні заряди до нижньої поверхні зразка. Виникає електричне поле 
, що називається полем Холла, яке в рівноважних умовах компенсує дію сили Лоренца (відхиляючий вплив магнітного поля)
, (20.34)
або
, (20.35)
де 
- струм, 
- опір Холла, 
- розмір провідника в напрямку вздовж магнітного поля, а d - товщина зразка. Отже, з (20.35) бачимо: знак напруги Холла визначається за даними умовами досліду знаком носіїв струму, а величина опору Холла дозволяє визначити концентрацію цих носів. Досліди показали, що є такі речовини, у яких струм створюють дірки (позитивні заряди). Якщо в проходженні струму беруть участь одночасно електрони та дірки, то ефект Холла стає більш складним, і може навіть дорівнювати нулеві за умови, що 
|
|
|
Електропровідність металів
| Рис.20.15. Рух квазічастинок. |
Під дією електричного поля 
в металі протікає електричний струм. У його утворенні беруть участь електрони провідності. Вони прискорюються електричним полем і переходять на вакантні місця, звільнюючи при цьому свої попередні місця для нових вакансій, які заповнюються іншими електронами й так далі. В ідеальному кристалі з абсолютною періодичною ґраткою при нульовій абсолютній температурі 
електрони не розсіюються, тобто вони мають нескінченну довжину вільного пробігу. Їхня функція Блоха буде біжучою хвилею, модульованою з періодом, що збігається з періодом кристалічної ґратки. Вона розповсюджується в кристалі без затухання. Досліди показали, що в бездомішкових кристалах металів при 
К опір прямує до нуля.
У реальних кристалах електричне поле прискорює електрони лише протягом середнього часу їхнього життя між двома послідовними актами розсіяння 
. Після великої кількості актів прискорення та розсіяння встановлюється середній імпульс або середня дрейфова швидкість у напрямку електричного поля 
, що прискорює
, (20.36)
де 
- елементарний заряд, 
- ефективна маса квазічастинки.
Дрейфова швидкість визначає густину електричного струму 
, що протікає в провіднику під дією електричного поля
, (20.37)
тобто має місце закон Ома 
де 
- питома електропровідність. Вона залежить від дрейфової швидкості в одиничному полі 
, яку прийнято називати рухливістю квазічастинок, та 
- концентрації вільних, здатних рухатися квазічастинок (електронів) у не заповненій або частково заповненій зоні
, (20.38)
де рухливість
(20.39)
визначається процесами розсіяння 
та зонною структурою 
. Оцінка за допомогою (20.39) швидкості електронів у полі 
дає 
, тобто квазічастинка – електрон дуже повільно, як „черепаха”, дрейфує в металі. Аналіз формул (20.38) показує, що концентрація електронів у металах слабко залежить від температури, і тому температурна залежність електропровідності визначається, головним чином, температурної зміною рухливості. Рухливість залежить від процесів розсіяння електронів, які змінюються зі зміною температури. Дійсно, у вираз для рухливості (20.39) входить час релаксації 
, зв’язаний з довжиною вільного пробігу та середньою швидкістю носіїв заряду 
. У металі електронний газ вироджений, тому в знаменнику стоїть 
, де 
- швидкість носіїв із енергією Фермі. При високих температурах розсіяння носіїв відбувається, головним чином, на фононах – квазічастинках, які зіставляються з хвилями зміщення атомів (іонів) ґратки із рівноважних положень[45]. Рух атомів у кришталевій ґратці в нормальних координатах можна звести до коливань гармонічного осцилятора, енергія кожного з яких має дискретні значення 
, де 
- частота нормальних коливань. Отже, моди коливань можуть змінюватись лише порціями 
, які називаються фононами. Енергія коливань кристала приблизно дорівнює сумі енергій фононів, бо не прийнято включати енергію нульових коливань ґратки 
. Залежність кількості теплових фононів з енергією 
від температури (Т) визначається формулою Планка 
. Довжина вільного пробігу 
, від якої залежить час релаксації 
, пропорційна концентрації фононів 
при 
. Тому 
.
Електропровідність часто зв’язують із площею ізоенергетичної поверхні Фермі, яка для сферичної поверхні Фермі дорівнює:
, (20.40)
де 
і 
– імпульс і енергія Фермі відповідно.
Згідно формули (20.28), концентрація електронів 
залежить від енергії Фермі:
. (20.41)
Після підстановки цього виразу для 
у формулу для 
із урахуванням (20.41) отримаємо
. (20.42)
Формула (20.42) показує, що перенесення електронів у металах здійснюється квазічастинками - електронами, що знаходяться на ізоенергетичній поверхні Фермі. Вона була доведена у випадку сферичної поверхні Фермі, але виявляється, що вона має такий самий вигляд і в інших випадках, коли враховувати динаміку електронів провідності в металах із несферичними поверхнями Фермі. Тому поняття поверхні Фермі досить часто використовується в сучасній теорії металів.
Відзначимо, що електропровідність твердих тіл є проявом квантово-механічних властивостей квазічастинок. Дійсно, розглянемо електропровідність одновимірного провідника, яка згідно закону Ома дорівнює:
, (20.43)
де 
та 
- струм та падіння напруги в одновимірному провіднику. Струм визначається проходженням заряду е крізь його поперечний переріз за одиницю часу, тоді
. (20.44)
Якщо вважати, що 
є час між двома станами розсіяння квазічастинки, а 
є невизначеність її енергії, то згідно співвідношення невизначеності 
, і тому електропровідність буде дорівнювати:
. (20.45)
Отже електропровідність є проявом квантовомеханічних властивостей заряджених частинок, що підтверджується сучасними експериментами, а 
називається квантовою одиницею електропровідності.
Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 839; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!