Практична робота №6 «Повторні випробування»
Основні поняття і визначення.
Якщо у кожному з n незалежних випробувань ймовірність появи події А стала і дорівнює р, то ймовірність того, що у n випробуваннях подія А відбудеться m разів, обчислюється за формулою Бернуллі:
Рn(m)= 
m ·qn-m, де q = P( 
) = 1- p.
Нехай Рn(m1 ≤ m ≤ m2) означає ймовірність того, що в n випробуваннях схеми Бернуллі успіх має місце не менше, ніж m1 раз і не більше, ніж m2 рази (0 ≤ m1 ≤ m2 ≤n). Тоді
Рn(m1 ≤ m ≤ m2) = 
n(m).
Ймовірність Рn(1 ≤ m ≤ n) того, що в результаті n випробувань успіх має місце хоча б один раз, визначається формулою:
Рn(1 ≤ m ≤ n)=1-qn.
Відмітимо, що ймовірності Рn(m) при фіксованому n спочатку ростуть при збільшенні числа m від 0 до деякого значення m0, а потім зменшуються при зміні числа m від m0 до n.
Число успіхів m0, якому при заданому n відповідає максимальна біноміальна ймовірність Pn(m0), називається найбільш ймовірним числом успіхів, яке визначають із системи нерівностей
n·p - q ≤ m0 ≤ n·p + p,
що має один або два цілих розв’язки.
Для застосування схеми Бернуллі до розв’язування задач необхідно, щоб: а) випробування були незалежними; б) у кожного випробування має бути тільки два можливих наслідки; в) ймовірність появи події, яка цікавить, у кожному випробування має бути однаковою.
Приклад 1.В упаковці є 10 % нестандартних деталей. Навмання відібрано 4 деталі. Знайти ймовірності того, що серед відібраних деталей немає нестандартних, одна, дві,три, чотири нестандартних.
|
|
|
Розв’язання. Ймовірність появи нестандартної деталі завжди дорівнює 0,1.
Знайдемо потрібні ймовірності за формулою Бернуллі:
1) серед відібраних деталей взагалі немає нестандартних:
Р4(0) = 
·0,10 · 0,94 = 0,6561;
2) серед відібраних деталей одна нестандартна:
Р4(1) = ·0,11 ·0,93 = 0,2916;
3) серед відібраних деталей дві нестандартні:
Р4(2) = ·0,12 ·0,92 = 0,0486;
4) серед відібраних деталей три нестандартні:
Р4(3) = ·0,13 ·0,91 = 0,0036;
5) серед відібраних деталей чотири нестандартні:
Р4(4) = ·0,14 ·0,90 = 0,0001.
Якщо ж n – дуже велике число, а ймовірність появи події дуже мала, то удаються до асимптотичної формули Пуассона(p<0.1; n·p·q≤10)
Pn(k) = 
· 
=Pm(λ), де λ = n · p.
У таблиці додатків наведені значення функції Пуассона Рm(λ).
Приклад.На факультеті навчаються 1825 студентів. Яка ймовірність того, що 8 березня є днем народження одночасно чотирьох студентів факультету?
Розв’язання.Ймовірність того, що день народження студента 8 березня, рівна р = . Оскільки р мала, n = 1825 велике і λ = n · p = 1825 · 
= 5 ≤ 10, то застосуємо формулу Пуассона:
P1825(4) = P5(4) = 0,1755 (за таблицею додатків).
Якщо n велике, то формула Бернуллі потребує громіздких обчислень, тому користуються асимптотичною формулою Лапласа: (p 
0;1), n·p·q>10)
|
|
|
Pn(m) 
, де 
та х = 
.
Основні властивості функції Гаусса 
а) 
функція парна;
б) 
при х>0;
в) 
0,0001 при х>4.
Функція 
табульова (див. таблицю додатків).
Приклад.Найти ймовірність того, що з n = 100 зернин зійде рівно m = 80, якщо їх схожість p = 0,8.
Розв’язання. Оскільки n=100 досить велике (умову n·p·q = 100 
>10 виконано), то застосуємо формулу Лапласа.
Спочатку знайдемо х = 
=0, 
=0,3989(з таблиці додатків).
Р100(80) = 
= 0,0997.
Задачі для самостійної роботи:
1.Ймовірність виготовлення на автоматичному верстаті якісної деталі рівна 0,8. Знайти ймовірність можливого числа появи бракованих деталей серед 5 відібраних, а також найімовірніше число появи бракованих деталей та ймовірність цього числа(зобразити графічно полігон розподілу ймовірностей).
2. Книга має 1000 сторінок. Відомо, що у ній міститься 100 помилок. Яка ймовірність того, що на випадково відібраній сторінці немає помилок, одна помилка, дві помилки?
3.У селі Новоселівка із кожних 100 сімей 80 мають автомобілі. Знайти ймовірність того, що з 400 навмання відібраних сімей 300 мають автомобілі.
4.Ймовірність знайти білий гриб серед інших рівна 0,25. Яка ймовірність того, що серед 80 грибів білих буде 20?
|
|
|
5.За результатами перевірок податковими інспекціями виявлено, що в середньому кожне друге мале підприємство регіону допускає порушення фінансової дисципліни. Знайти ймовірність того, що з 1000 зареєстрованих у регіоні малих підприємств допускають порушення фінансової дисципліни 480 підприємств.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 390; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!