Практична робота №3 «Визначення ймовірності події»

Стр 1 из 10Следующая ⇒

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

Дніпропетровський коледж транспортної інфраструктури

Затверджено

Директор коледжу

від «___»______ 20 р.

________ І.П.Павленко

Методичні вказівки для виконання

практичних робіт з дисципліни

«Теорія ймовірностей та математична статистика»

для студентів спеціальності № 5.05010201

Обслуговування комп’ютерних систем і мереж»

Розглянуто та схвалено Розробила викладач

цикловою комісією коледжу

«Обслуговування комп’ютерних від «___» _____20 р.

систем і мереж» _______ Н.В.Колесник

протокол №____

від «___»______ 20 р.

________ Н.В.Колесник

Дніпропетровськ

ЗМІСТ

Вступ 3

Модуль 1. Основні поняття і теореми теорії ймовірності

Практична робота №1 «Рішення задач з алгебри подій» 4

Практична робота №2 «Рішення задач з комбінаторики» 6

Практична робота №3 «Визначення ймовірності події» 10

Практична робота №4 «Основні теореми» 12

Практична робота №5 «Формула повної ймовірності.

Формула Байєса» 14

Практична робота №6 «Повторні випробування» 16

Модуль 2. Функції випадкових величин

Практична робота №7 «Випадкові величини» 18

Практична робота №8 «Основні закони розподілів

дискретних випадкових величин» 22

3 Модуль 3. Математична статистика

Практична робота №9 «Варіаційні ряди» 26

Практична робота №10 «Вибірковий метод та статистичне

оцінювання» 35

Література 42

Додаток Таблиці спеціальних функцій 43

ВСТУП

Дисципліна "Теорія ймовірностей та математична статистика" – це математична наука, що вивчає закономірності у випадкових явищах.

У всіх випадках, коли застосовуються імовірнісні методи дослідження, їх мета полягає в тому, щоб, минаючи занадто складне вивчення окремого явища, обумовленого дуже великою кількістю факторів, звернутися безпосередньо до законів, які керують масами випадкових явищ. Вивчення цих законів дозволяє не тільки здійснити науковий прогноз своєрідною області випадкових явищ, але в ряді випадків допомагає цілеспрямовано впливати на хід випадкових явищ, контролювати їх, обмежувати сферу дій випадковості.

Імовірнісний метод в науці не протиставляє себе класичним методом точних наук, а є її доповненням, що дозволяє глибше аналізувати явище з урахуванням властивих їй елементів випадковості.

Характерним для сучасного етапу розвитку будь-якої науки є широке і плідне застосування імовірнісних і статистичних методів. Це цілком природно, так як при поглибленому вивченні будь-якого кола явищ неминуче настає етап, коли потрібно не тільки виявлення основних закономірностей, але й аналіз можливих відхилень від них. В одних науках, в силу специфіки предмета і історичних умов, впровадження імовірнісних і статистичних методів спостерігається раніше, в інших – пізніше. В даний час немає майже жодної науки, якої так чи інакше не застосовувалися б ймовірнісні та статистичні методи.

Математичні закони теорії ймовірностей – відображення реальних статистичних законів, об'єктивно існуючих в масових випадкових явищах природи. До вивчення цих явищ теорія ймовірностей застосовує математичний метод і за своїм методом є одним з розділів математики, настільки ж логічно точним та суворим, як і інші математичні науки.У відповідності з навчальним планом на дисципліну "Теорія ймовірностей і математична статистика" відводиться 108 годин, в тому числі 20 годин практичних робіт.Рішення задач по теорії ймовірностей і математичної статистики у студентів коледжу часто сполучене з багатьма труднощами. Допомогти студентові долати ці труднощі, навчити застосовувати теоретичні знання до вирішення завдань по усім розділам з курсу теорії ймовірностей та математичної статистики – основне призначення цієї допомоги.Відомо, що при самостійному розв'язанні завдань багато студенти потребують постійних консультаціях по прийомам та методам їх вирішення, так як знайти шлях до вирішення завдання без допомоги викладача або відповідної допомоги студенту не під силу. Такі консультації студент може отримати в цьому посібнику.За темою кожної практичної роботи наводяться основні визначення та формули та завдання з рішенням.

Практична робота №1 «Рішення задач з алгебри подій» Основні поняття і визначення.Нехай - простір елементарних подій розглянутого досвіду. Для кожного можливого в цьому досвіді події А виділимо сукупність всіх елементарних подій, настання яких необхідно тягне настання А. Ці елементарні події, що сприяють появі А. Безліч цих елементарних подій позначимо тим же символом А, що і відповідна подія.Таким чином, подія А полягає в тому, що сталося одне з елементарних подій, що входять в зазначений безліч А. Ми ототожнюємо подія А і відповідне йому безліч А елементарних подій.Подія називається достовірною, якщо вона настає в результаті появи будь-якого елементарного події. Позначення: W.Неможливою назвемо подія, не настає ні при якому елементарному подію. Позначення: Æ. Приклад. В досвіді з кубиком достовірним є подія, що випаде число, менше 7. Неможливим – випаде від'ємне число.Сумою (або об'єднанням) двох подій А і В назвемо подія А+В (або АÈВ), що відбувається тоді й тільки тоді, коли відбувається або А, або В. Сумою подій А і В відповідає об'єднання множин А і В. Очевидні співвідношення: А+Æ=А, А+W = , А+А=А.Приклад. Подія «випало парне» є сумою подій: випало 2, випало 4, випало 6.Добутком (або перетином) двох подій А і В назвемо подію АВ (або АÇВ), що відбувається тоді й тільки тоді, коли відбувається і А, і Ст. Добутку подій А і В відповідає перетин множин А і В. Очевидні співвідношення: АÆ=Æ, АW =А, АА=А.Приклад. «Випало 5» є перетином подій: випало непарне і випало більше 3-х.Дві події назвемо несумісними, якщо їх одночасна поява в досвіді неможливо, тобто АВ=Æ.Приклад. Випало парне число і випало непарне число – події несумісні.Подія `А назвемо протилежним до А, якщо воно відбувається тоді і тільки тоді, коли не відбувається. Очевидні співвідношення: А+`А = , А·`А =Æ, ًА = А.Приклад. Випало парне число і випало непарне число – події протилежні.Різницеюподій А і В назвемо подія А\В, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається А, але не відбувається B. Очевидні співвідношення: `А= W\А, А\В=А`В .Операції додавання і множення володіють наступними властивостями: А+В=В+А, АВ=ВА, А(В+С)=АВ+АС, А(ВС)=(АВ)С.Приклад. Проводиться два пострілу по цілі. Нехай подія А – влучення в ціль при першому пострілі і В – при другому, тоді і - промах відповідно при першому і другому пострілах. Позначимо ураження цілі подією З і приймемо, що для цього достатньо хоча б одного влучення. Потрібно виразити через А і В.Рішення. Мета буде вражена в наступних випадках: попадання при першому і промах при другому; промах при першому і попадання при другому; влучення при першому і другому пострілах. Перераховані варіанти можна відповідно записати: А `В, А`В і АВ. Цікавить нас подія полягає в настанні або першого, або другого, або третього варіантів (хоча б одного), тобто С= А`В +`А В+АВ. З іншого боку, подія `С, протилежне С, є промах при двох пострілах, тобто `С=`А`В, звідси шукане подію С можна записати у вигляді С=`

.Властивості операцій над подіями1)WÌАÌW2)Æ+А=А3)W+А=W4)А+В=В+А5)(А+В)+С=А+(В+С)6)А·В=В·А7)(А+В)·С=А·С+В·С8)А·(В·С)=(А·В)·С9)А·Æ=Æ10)А+Æ=А11)А·А=А12)(А·В)+С=(А+С)·(В+С)13)А/В=А/(А·В)=А·

14)

=W/А15)А·

=Æ16)

=А17)

18)

Задача для самостійної роботиНехай А, В, С – випадкові події. Знайти вирази для подій, які полягають у тому, що з даних трьох подій: 1) відбулася тільки А; 2) відбулися тільки А і В; 3) відбулися всі три події; 4) відбулася хоча б одна із цих подій; 5) відбулося не менше двох із даних подій; 6) відбулася тільки одна з даних подій; 7) відбулися два із даних подій; 8) не відбулася жодна із даних подій. Ці вирази проілюструвати діаграмами Ейлера-В’єнна.Практична робота №2 «Рішення задач з комбінаторики» Основні поняття і визначення.Комбінаторні завданнями називаються задачі, в яких необхідно підрахувати, скількома способами можна зробити той чи інший вибір, виконати яку-небудь умову.Нехай є множина, що містить n елементів. Кожне його впорядкована підмножина, що складається з k елементів, називається розміщенням з n елементів по k елементів:

, де n!=1*2*3*…*n

Приклад. Група учнів вивчає 7 навчальних дисциплін. Скількома способами можна скласти розклад занять на понеділок, якщо в цей день тижня має бути 4 різних уроку?Рішення. Кількість способів дорівнює числу розміщень з 7 елементів по 4, тобто дорівнює

. Отримуємо =

.Розміщення з n елементів по n елементів називаються перестановками з n елементів:

Приклад. Скільки шістнадцятирічних чисел, кратних п'яти, можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 за умови, що цифри у числі не повторюються?Рішення. Цифра 5 зобов'язана стояти на останньому місці. Решта п'ять цифр можуть стояти на решти п'яти місцях в будь-якому порядку. Отже, шукане число шестизначних чисел, кратних п'яти, дорівнює числу перестановок з п'яти елементів, тобто 5!=5*4*3*2*1=120. Сполучення. Нехай є множина, що складається з n елементів. Кожне його частину, що містить k елементів, називається сполученням з n елементів по k елементів: Приклад. Скільки матчів буде зіграно у футбольному чемпіонаті з участю 16 команд, якщо кожні дві команди зустрічаються між собою один раз?Рішення. Матчів відбудеться стільки, скільки існує двохелементних підмножин у множині, що складається з 16 елементів, тобто їх число _{дорівнює}_.Властивості сполучень:1)

=1;2)

=1;3)

=n;4)

=2ⁿ;

Якщо в перестановках із загальної кількості n елементів є k різних елементів, при цьому перший елемент повторюється n₁ раз, другий елемент – n₂ рази і т. д., k- елемент – n_k разів, причому n₁+n₂+…+n_k=n, то такі перестановки називають перестановками з повтореннями. Кількість перестановок з повтореннями з n елементів (записують (n₁, n₂,...,n_k)) обчислюють за формулою:

(n₁, n₂,...,n_k) =

Приклад.Скільки існує семизначних чисел, які складаються з цифр 4, 5, і 6, причому цифра 4 повторюється три рази, а цифри 5 та 6 – по два рази?Рішення.За умовою n₁ = 3, n₂ = 2, а n₁+n₂+n₃=7.Тоді

(3,2,2) =

=210 чисел.

Якщо в розміщеннях (сполученнях) із n елементів по m деякі з елементів (або всі) можуть бути однаковими, то такі розміщення (сполучення) називають розміщеннями(сполученнями) з повтореннямиз n елементів по m. Кількість розміщень з повтореннями з n елементів по m ( позначають ) обчислюють за формулою:

=n^m.

Кількість сполучень з повтореннями із n елементів по m (позначають ) обчислюють за формулою:

Приклад.Правління комерційного банку обирає з десяти кандидатів три чоловіки на три різні вакансії ( вважається, що шанси всіх претендентів однакові). Якщо припустили, що один і той самий відібраний з десяти кандидатів може обійняти не одну, а дві, або ж навіть усі три посади, то скільки існує можливих комбінацій заміщення трьох вакансій?

Рішення.В задачі йдеться про розміщення з повтореннями (тому що порядок, в якому будуть заміщатися вакансії, є важливим). Отож, загальна кількість усіх можливих комбінацій заміщення вакансій становить:

=10³ = 1000.

Приклад.Скількома способами можна купити 8 тістечок у кондитерській, де є шість різних видів тістечок?

Рішення. Зрозуміло, що серед потрібних восьми тістечок можуть бути і тістечка одного виду (або навіть усі). Поряд, у якому ми будемо купляти тістечка, є неважливим. Отож, щоб дати відповідь на питання задачі, підрахуємо кількість сполучень з повтореннями із шести різних видів тістечок, за умови, що маємо купити вісім тістечок:

= = = =1287 (способами).

Розв’язуючи задачі з комбінаторики, доцільно користуватися такою схемою:

1) визначити кількість елементів головної множини;

2) визначити, скільки елементів входить у кожну комбінацію ( якщо кількість елементів у кожній комбінації рівна кількості елементів головної множини, то йдеться про перестановки, а якщо ні – про розміщення чи сполучення);

3) з’ясувати, чи суттєвий порядок елементів у комбінації ( якщо порядок суттєвий, то йдеться про розміщення, якщо ж ні – про сполучення);

4) з’ясувати, чи можливий повтор елементів у комбінації ( якщо так, то йдеться про перестановки, розміщення чи сполучення з повтореннями);

5) з’ясувати, чи йдеться про підрахунок кількості комбінацій даного складу, чи про підрахунок кількості можливих складів даної комбінації ( у першому випадку визначити склад комбінації і використати формулу для підрахунку кількості перестановок з повтореннями; у другому – визначити кількість елементів головної множини, склад комбінації і скористатися формулою для підрахунку кількості сполучень з повтореннями).

Нехай А₁,А₂,…,А_n – підмножини універсальної множини W, – доповнення множини А_і, N(A_i) – число елементів множини А_і. Має місце формула:

N( · ·…· )=N- )+ · )- · ·…· )+…+(-1)ⁿ^·N( · ·…· ).

Цю формулу називають формулою включень та виключень, або формулою решета.

Приклад.Із 100 студентів 40 знають англійську мову, 35 – німецьку, 28 – французьку; англійську і німецьку мови знають 12 студентів; англійську і французьку – 7; німецьку і французьку – 6; всі три мови знають 4 студенти. Скільки студентів не знають жодної з цих мов?

Рішення.Якщо А,В,С – відповідно множини студентів, що знають англійську, німецьку і французьку мови, W - множина всіх 100 студентів, то за формулою включень та виключень маємо:

N( · · )=N-N(A)-N(B)-N(C)+N(A·B)+N(A·C)+N(B·C)-N(A·B·C)=100-40-35-28+12+7+6-4=18

Для наочного зображення можна було скористатись діаграмами Ейлера-В’єнна. Діаграма заповнюється, починаючи з А·В·С: N(A·B·C)=4. N(A·B· )=12-4=8 (число студентів, які знають тільки англійську і німецьку мови). N(A·C· )=7-4=3, N(B·C· )=6-4=2, N(A· · )=40-(3+4+8)=25, N(B· · )=35-(2+4+8)=21, N(C· · )=28-(3+4+2)=19, і нарешті, N( · · )=100-(25+21+19+8+3+2+4)=18

Задачі для самостійної роботи:

1. В конкурсі за п’ятьма номінаціями беруть участь 10 кінофільмів. Скільки існує варіантів розподілу призів, якщо у кожній номінації встановлені: а) різні призи; б) однакові призи?

2. Одного разу 10 друзів зайшли до ресторану. Господар запропонував їм приходити до нього щодня і кожного разу сідати за той самий стіл по-іншому. Після того, як усі способи посади за столом будуть вичерпані, господар зобов’язався годувати друзів у ресторані безкоштовно. Через скільки років друзям слід чекати «райського життя»?

3. Скільки потрібно мати словників, щоб можна було безпосередньо робити переклади з будь-якої мов: російської, української, англійської, німецької та французької на будь-яку іншу з цих мов?

4. В їдальні є чотири види перших страв, п’ять других і три третіх. Скількома способами можна скласти з цих страв повноцінний обід?

5. Скількома способами можна розподілити 6 однакових папок у трьох ящиках письмового стола, якщо кожний ящик може вмістити всі папки?

6. Скількома способами можна розподілити 6 різних папок по трьох ящиках письмового стола?

7. Скількома способами можна розкласти 6 різних папок у трьох ящиках письмового стола так, щоб до кожного ящика потрапило по дві папки?

8. У розіграші першості країни з футболу бере участь 17 команд. Скількома способами можуть бути розподілені золота, срібна і бронзова медалі?

9. У бібліотеці зарубіжної літератури працює певна кількість фахівців, кожен з яких знає хоча б одну іноземну мову. 6 з них знають англійську мову, 6-німецьку, 7-французьку,4-англійську і німецьку, 3-німецьку і французьку, 2-французьку і англійську, 1-знає всі три мови. Скільки фахівців працює у бібліотеці? Скільки з них знає лише англійську, німецьку, французьку мову?(скористуйтесь діаграмами Ейлера-В’єнна).

Практична робота №3 «Визначення ймовірності події»

Основні поняття і визначення.

Імовірністю події А називається числова міра об’єктивної можливості настання цієї події в певному випробуванні. Позначається така ймовірність Р(А).

Властивості ймовірності

1. Імовірність достовірної події P(W ) =1.

2. Імовірність неможливої події P(Æ ) = 0.

3. P(A) 0 для будь-якої події А простору подій W.

4. Якщо А₁, А₂, … , А_і,… попарно несумісні події, тоді Р( = ).

5. Р( )=1-Р(А).

6. 0≤Р(А)≤1.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 467; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!