Методы выбора нехудших вариантов на основе безусловного критерия предпочтения

1.4.1. Метод рабочих характеристик.

       Прежде чем давать описание метода рабочих характеристик, необходимо остановиться на основных понятиях и свойствах нехудших вариан-тов (точек). На основе выводов, сделанных в [9], можно отметить следую-щее:

· учет и техническое обслуживание производственного оборудования;

· получение информации для расследования причин отказов оборудо-вания;

· отладка материально-технического снабжения;

· если множество содержит кроме нехудших также и худшие точки (варианты), то все худшие точки могут быть исключены из дальнейшего рассмотрения без ущерба для результатов выбора, ибо оптимальным обязательно будет одна из нехудших точек (вариантов);

· если множество не является замкнутым, то на первом этапе выбора следует рассмотреть его замыкание и найти соответствующее этому замыканию множество нехудших систем. На втором этапе выбора следует выбрать оптимальный вариант из множества нехудших на основе какого либо условного критерия;

· ни одна из нехудших точек (вариантов) не может быть признана бе-зусловно лучшей или безусловно худшей, чем другая нехудшая точ-ка (вариант);

· если множество нехудших точек (вариантов) вырожденное, т. е. сос-тоит всего из одной точки (варианта), то она является наилучшей;

· каждой нехудшей точке (варианту) соответствует минимальное (на-илучшее возможное, потенциальное) значение любого из показате-лей качества(К¹, К²,…, К^m) при фиксированных значениях всех оста-

льных (качества m-1) показателей (свойство из m-кратного минимума);

Из свойства m-кратного минимума нехудших точек (вариантов) следует, что найдя совокупность нехудших точек (вариантов) получаем m зависимостей вида

К₁ = f_нх1 (К², К³,…, К^m)

К₂ = f_нх2 (К¹, К³,…, К^m)

                                                                                               (1.8)

К_m = f_нх_m (К¹, К²,…, К^m^-1),

где К¹, К²,…, К^m – минимальные значения каждого из показателей эффективности при фиксированных значениях остальных (m-1) показателей. Эти

значения называются частными потенциальными (наилучшими возможными) значениями показателей эффективности К¹, К²,…, К^m. Найдя со-вокупность нехудших точек (вариантов) находим связь между потенциаль-ными значениями всех показателей эффективности. В случае двух показа-телей эффективности зависимость (1.8) запишется

                                       К¹ = f_нх₁(К²)                                          (1.9)

                                        К² = f_нх₂ (К¹)                                      (1.10)

Геометрическое место всех нехудших точек в m-мерном пространстве показателей называется оптимальным. Оптимальная поверхность может вырождаться в линию или в совокупность изолированных точек (вариантов). Любое из соотношений вида (1.8) можно рассматривать как уравнение оптимальной поверхности. При m = 2 эта поверхность описывается уравнениями (1.9, 1.10) и имеет вид непрерывной кривой (рис. 1.9 а), или вид разорванной линии (рис. 1.9 б), или вид совокупности точек (рис. 1.9 в).

           а                                      б                                        в

Рис. 1.9. Зависимость показателей эффективности:

а – непрерывная линия; б – разорванная линия; в – совокупность точек.



При m = 3 оптимальная поверхность имеет вид поверхности в трёхмерном

пространстве ОК¹К²К³ (рис. 1.10). Поверхность также может быть непрерывной, разорванной или – из изолированных точек.

Рис. 1.10. Поверхность нехудших вариантов

                               (точек) в трехмерном пространстве

       Свойство оптимальной поверхности называется строгой монотонностью. Если m = 2, то строгая монотонность означает, что зависимость К¹= f_нх( К²) имеет монотонно убывающий характер. При m = 3 оптимальная поверхность К¹ = f_нх ( К², К³) может быть изображена в виде семейства кривых, К¹ = f_нх( К², К³) с параметром К³(рис. 1.11 а), или семейства кри-вых К¹ = f_нх ( К², К³) с параметром К² (рис. 1.11 б). Свойство монотонности состоит в том, что все кривые обоих семейств являются монотонно убыва-ющими функциями.

       В целом для любого числа показателей эффективности оптимальная поверхность является геометрическим местом нехудших точек (вариантов) строго монотонна, любая из выражающих её функций (1.8) монотонно убывает по каждому из аргументов. При выборе нехудших вариантов на основе построения зависимостей между показателями эффективности используется следующая совокупность данных [9] D = {Y, O_S, K^K,O_K}, Y = {У₁, У₂, …, У_P}; O_S = {O_S₁, O_S₂, …, O_Sg} – ограничения на структуру и параметры вариантов (системы); К^К= {K¹, K², …, K^m} – показатели эффективности; O_K = {O_К1, O_K₂, …, O_Km} – ограничения на показатели эффективности. К условиям относятся такие ограничения как диапазон температур, давлений, влажности и т. д. Ограничения O_S на структуру при выборе вариантов могут варьироваться от нежестких до сильных (жестких) ограничений. Например, к нежестким ограничениям можно отнести ограничение на класс промышленных контроллеров (монолитные, модульные, РС – base контроллеры), более жесткие ограничения на серию контроллеров (I – 800, WinCon – 8000, LinCon - 8000).

                                   а).                                                                  б).

Рис. 1.11. Монотонно убывающая зависимость показателей эффективности

при выборе вариантов по трем показателям эффективности: а – зависимость

К¹ = f_нх (К², К³); б – зависимость К¹ = f_нх ( К², К³)

Ограничения на параметры: типа равенств, неравенств, дискретности, связи. Множество показателей эффективности К^К= {K¹, K², …, K^m} включает совокупность тех показателей эффективности, которые должны учитываться в процессе выбора. Ограничения O_K, накладываемые на значения показателей эффективности могут быть: типа равенств, неравенств, связи. Варианты (В), удовлетворяющие совокупности {У, O_S} исходных данных, называются допустимыми (М_g). Допустимые варианты, удовлетворяющие совокупности ограничений O_K называются строго допустимыми (М_сд). Из множества строго допустимых оптимальным вариантом считается вариант, обладающий наилучшим множеством показателей эффективности К^К, для этого должен быть обоснован критерий предпочтения (критерий оптимальности), т. е. правило, на основании которого одно значение множества К^К(вектораК^К) следует считать лучшим (или хушим) другого его значения.

       Непосредственно метод рабочих характеристик состоит в следую-щем. Определяется минимум одного из показателей эффективности, например , при всех остальных показателях эффективности, переведенных в разряд ограничений типа равенств

                            …,                        (1.11)

при этом учитывают исходные ограничения У, O_S, O_K . Минимизируемый показатель эффективности К¹ называется главным, а все остальные (m – 1) показатели второстепенными. Величина в общем случае будет зави-сеть от фиксированных значений …, , т.е.

                              = f_p( …, )                       (1.12)

Нахождение зависимости (1.12) производится для всех интересующих комбинаций значений показателей …, . Зависимость вида (1.12) называется рабочей поверхностью. В общем виде (1.12) можно записать

                          = f_p( …, )                             (1.13)

Рабочая поверхность (1.13), рассматриваемая как функция одного из своих аргументов при фиксированных значениях всех остальных аргументов, называется рабочей характеристикой. Рабочей поверхности (1.13) соответствуют рабочие характеристики (m - 1) видов:

= f_p( )

                                   = f_p( )                          (1.14)

                                    . . . . . . . . .

= f_p( )

    Основные свойства метода рабочих характеристик [9]:

· рабочая поверхность содержит все нехудшие варианты (точки), но может содержать и ряд худших вариантов, которые должны быть отсеяны из дальнейшего рассмотрения;

· необходимым и достаточным условием совпадения рабочей поверхности с оптимальной является строгая монотонность рабочей поверхности, т. е. монотонно убывающий характер всех (m – 1) сооветствующих ей рабочих характеристик (1.14);

· в большинстве реальных задач рабочая поверхность строго монотонна, что соответствует геометрическому месту нехудших вариантов (М_нх.).

       Основная сложность метода рабочих характеристик состоит в сле-дующем:

· минимизацию главного показателя эффективности (1.13) необходи-мо проводить с учётом не только исходных условий (У) и ограниче-ний (О_S), но и с учетом дополнительных (m – 1) ограничений вида (1.11);

· минимизация должна быть проведена не для одного конкретного сочетания значений зафиксированных показателей эффективности (1.11), а для всех интересующих сочетаний значений и показателей эффективности;

· в целом получается достаточно объёмная вычислительная процеду-ра выделения нехудших вариантов. Отсюда вывод, что необходимо применение современных компьютерных технологий с соответству-ющим математическим и программным обеспечением.

1.4.2. Метод модифицированных рабочих характеристик.

           Метод модифицированных рабочих характеристик состоит в отыскании минимума (по всем допустимым вариантам) радиуса-вектора [9] . При фиксированных, но произвольных значе-

ниях отношений получают зависимо -

мость

                         r_min = f_p (P₁, P₂, …, P_m _-1)                           (1.15)

варьируя отношения Р_i ( ) в пределах области, определяемой неравенством 0 < P_i < ∞, . Зависимость (1.15) называется полярной рабочей поверхностью. Точки (варианты) модифицированной рабочей поверхности получаются в результате перехода от переменных(r_min,P₁, P₂,…, P_m _-1)к переменным(K¹, K², …, K^m) по формулам

                          K¹ =                             (1.16)

K² = K¹ P₁, K³= K¹P₂, …, K^m = K¹ P_m_–1

Уравнения (1.16) представляют собой уравнение модифицированной рабочей поверхности в параметрическом виде. Уравнение модифицированной рабочей поверхности в явном виде получается на основе (1.16).

K¹ = f_pм (K², K³, …, K^m)

K² = f_pм ( K¹, K³, …, K^m)



K^m = f_pм ( K¹, K³, …, K^m^-1)

Рабочая модифицированная характеристика обладает тем же свойством, что и обычная рабочая характеристика:

· содержит все нехудшие точки (варианты) и, кроме того, может содержать худшие точки;

· монотонно убывающая модифицированная рабочая характеристика не содержит худших точек;

· необходимым и достаточным условием совпадения модифицируемой рабочей характеристики с левой нижней границей (с оптимальной) является монотонно убывающий характер этой характеристики.

1.4.3. Весовой метод выбора нехудших вариантов.

       Весовой метод выделения множества нехудших вариантов (М_нх) основан на минимизации взвешенной суммы показателей эффективности по всем допустимым вариантам ( ) или всем строго допустимым вариан-там ( ) [9]

K_В = K¹ + а₁K² + а₂K³ + , …, а_m_-1K^m

       При фиксированных, но произвольных значениях весов а_i в пределах, 0 < а_i < ∞, . Каждой комбинации значений весовых коэффициентов (а₁, а₂, …, а_m-₁) соответствует нехудший вариант В_в (а₁, а₂, …,а_m_-1). Этому варианту соответствуют взвешенные значения показателей эффективности ( ), которые зависят от весовых коэффициентов

= f₁_B (а₁, а₂, …, а_m_-1)

                                 = f₂_B (а₁, а₂, …, а_m_-1)                             (1.17)



= f_m_B (а₁, а₂, …, а_m_-1)

Система (1.17) является системой из m уравнений с (m - 1) неизвестными а₁, а₂, …, а_m_-1. При исключении этих неизвестных получаются зависимости весовой поверхности (1.18).

= f_B ( , )

                                    = f_B ( , )                          (1.18)



= f_B ( , )

Все соответствующие весовой поверхности (1.18) весовые характеристики являются монотонно убывающими функциями

= f_В( )

= f_В( )

= f_В ( , …, )

Основные свойства весового метода:

· любой вариант В (а₁, а₂, …, а_m-₁), найденный весовым методом, яв-ляется нехудшим;

· в общем случае весовой метод позволяет выделить не все нехудшие варианты, при этом, если весовая поверхность (1.18) оказывается оп-ределённой во всей области возможных значений показателей эффе-ктивности, то она в этой области совпадает с оптимальной повер-хностью, т. е. ни один из нехудших вариантов не будет пропущен.

1.4.4. Комбинированный метод выбора нехудших вариантов.

       Для вариантов, характеризуемых m показателями эффективности

(при m >2) n показателей (n < m - 1) переводится в разряд ограничений типа равенства. Далее выбор вариантов проведён по безусловному критерию предпочтения для первых показателей эффективности m^'= m – n (K¹, K², …,K^m^’) и получено уравнение поверхности, оптимальной для m^'показателей при фиксированных значениях остальных n показателей (K^m^’+1, …, K^m)

       K¹ = (K², K³, … , K^m’, K^m’⁺¹, … , K^m)                  (1.19)

       Если зависимость (1.19) оказалась монотонной при всех возможных комбинациях значений показателей эффективности (K², K³, …, K^m^’), тогда она рассматривается как функция всех m показателей (K², K³, …, K^m), дающая оптимальное решение не только для первых m^/ показателей, но и

для всех показателей эффективности. Имеется в виду оптимальное решение, соответствующее безусловному критерию предпочтения. Преимуществом комбинированного метода по сравнению с методом рабочих харак-

теристик является меньшее число показателей эффективности переведенных в разряд ограничений, т. к. n < m – 1. При методе рабочих характеристик ищут нехудшие варианты по одному из показателей при остальных

(m – 1) переведённых в разряд ограничений типа равенств и учете исходных данных Д = {У, O_S, K^K, O_K}. Недостаток комбинированного метода – необходимость определения множества вариантов по (m – n) показателям (m – n >1), вместо определения варианта оптимального по одному показателю эффективности. Комбинированный метод может упростить выбор нехудших вариантов в том случае, когда перевод в ограничение большого числа показателей эффективности связано с усложнением выбора, а поиск вариантов нехудших по (m – n) показателей не вызывает трудностей.

       Преимущество комбинированного метода по сравнению с весовым методом заключается в следующем. При весовом методе ни один из пока-зателей эффективности не переводится в разряд ограничений (типа ра-венств), но при этом необходимо определять множество вариантов, нехуд-ших по совокупности всех m показателей. Поэтому во многих случаях пе-ревод одного или нескольких показателей эффективности в разряд ограни-чений упрощает выбор нехудших вариантов, особенно если удается полу-чить аналитическое выражение для (m – n) показателей, в которые осталь-ные n показатели эффективности входят в качестве параметров, и поэтому их удобно принимать постоянными.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 833; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!