КАТУШКА С МАГНИТОПРОВОДОМ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 6 страница
Источники ЭДС и тока называются активными элементами, а резистивные, индуктивные и емкостные элементы — пассивными элементами схем замещения.
2.6. Максимальное, среднее и действующее значения синусоидальных величин
В линейной цепи при действии синусоидально изменяющейся ЭДС токи также синусоидальны:
г = /msin(u>£ +
где и — угловая частота; — начальная фаза; 1т — максимальное значение (<амплитуда) тока.
Средним значением синусоидальной величины считают ее среднее значение за положительный полупериод, совпадающее со средним значением по модулю. Например, для тока вычислим среднее значение, выбрав начальную фазу равной нулю:
Т/2 Т/2
/ср = !fidt = j; f Im sinutdt = (2.16)
0 0
Среднее значение тока измеряется приборами магнитоэлектрической системы, измерительная цепь которых содержит выпрямитель тока.
Синусоидальный ток в резистивном элементе с сопротивлением Rвызывает нагрев этого элемента из-за выделения тепловой энергии. Такую же тепловую энергию в этом же резистивном элементе можно получить при некотором постоянном токе. Определенное посредством такого сравнения значение постоянного тока называется действующим значением соответствующего синусоидального тока.
При синусоидальном токе за один период Т в резистивном элементе с сопротивлениемRвыделяется тепловая энергия
т
WT=J Ri2dt,
о
где г — мгновенное значение синусоидального тока.
|
|
По определению действующего значения синусоидального тока такое же количество тепловой энергии в том же резистивном эле-
менте должно выделяться при постоянном токе за тот же интервал времени Т:
Рис. 2.8 |
WT= RI2T.
Следовательно,
RI2T =J Ri2dt,
|
откуда находим действующее значение синусоидального тока:
'-it!**-
Таким образом, действующее значение синусоидального тока определяется как среднее квадратичное за период. На рис. 2.8 показаны синусоидальный ток г, изменение во времени квадрата тока г2 и графическое определение значения /2 (из равенства площадей I2T =Jfidt),а тем самым и действующего значения I.
Для синусоидального тока нетрудно определить действующее значение через амплитудное:
sin2uotdt
и так какJdt = Т,a Jcos2u)tdt = 0, то
' = WV2. (2.18)
Действующее значение выбрано в качестве основной характеристики синусоидального тока, потому что в большом числе случаев его действие пропорционально квадрату этого значения, например тепловое действие, взаимодействие прямого и обратного проводов двухпроводной линии и т.д.
(2.19а) (2.196) |
Аналогично для любой другой синусоидальной величины а = Amsm(wt+ (ЭДС, напряжение, магнитный поток и т.д.) среднее значение
|
|
Лср - 2Лт/тг и 0,637Лт; действующее значение
(2.17) |
А = Апь/Л « 0,707^,.
2.7. Различные способы представления синусоидальных величин
Известно несколько способов представления синусоидально изменяющихся величин: в виде тригонометрических функций, в виде графиков изменений во времени, в виде вращающихся векторов и, наконец, в виде комплексных чисел.
В 2.5 и 2.6 уже применялись представления синусоидально изменяющихся величин в виде тригонометрических функций, например (2.14), (2.15), и в виде графика изменений во времени (см. рис. 2.6).
Теперь рассмотрим представление синусоидально изменяющихся величин в виде вращающихся векторов и комплексных чисел.
Представление синусоидальных величин вращающимися векторами. Для представления синусоидально изменяющейся величины
а = Amsm(wt + -ф)
с начальной фазой ф> вращающимся вектором построим (рис. 2.9, а) радиус-вектор Ат этой величины длиной (в масштабе построения), равной амплитуде Ат1 и под углом -ф к горизонтальной оси. Это будет его исходное положение в момент начала отсчета времениt = 0.
Если радиус-вектор вращать с постоянной угловой скоростью и против направления движения часовой стрелки, то его проекция на вертикальную ось будет равнаAmsm(wt+ о|;). По значениям этих величин можно построить график зависимости синусоидальной величины от фазы и)tили от времениt.Такое построение приведено для некоторых значенийtна рис. 2.9, б.
|
|
Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты.
а |
Представление синусоидальных величин комплексными числами. От представления синусоидальных величин вращающимися радиусами-векторами нетрудно перейти к представлению синусоидальных величин комплексными числами.
АА "J / / \ / / | a i m " \a iVVzL __ | .Amsm(ut2+^)=Am | ||||
\ \ \ / V^/ / 0 ti t2^з tД Wkxi^teуУЧг —--------------------------------------------------------------- \- \y /Ат \ | t6Ut7 t | |||||
б
Для того чтобы представить синусоидальную величину
а = Amsm(ut+ -ф) (2.20)
с начальной фазой г|; комплексным числом, проведем на комплексной плоскости (рис. 2.10) из начала координат под углом ф> к оси действительных величин и чисел вектор, длина которого в масштабе построения равна амплитуде Ат синусоидальной величины. Конец этого вектора находится в точке, которой соответствует определенное комплексное число — комплексная амплитуда синусоидальной величины:
|
|
Ат = Ате* =AmZ^.
Так же обозначается и соответствующий комплексной амплитуде вектор на комплексной плоскости.
При увеличении во времени фазы + 'ф синусоидальной величины угол между вектором и осью действительных величин растет, т.е. получается вращающийся вектор
/М + <Ф) =Amcos(ut + ф) + jAmsin((jjt + ф>).
Нетрудно видеть, что мнимая часть вращающегося вектора равна заданной синусоидальной величине (2.20).
По существу представление синусоидальной величины комплексной амплитудой Ат и соответствующим ей вектором на комплексной плоскости геометрически подобно представлению той же синусоидальной величины вращающимся радиусом-вектором Ат в момент времениt = 0 (см. рис. 2.9, а). Поэтому может создаться впечатление, что оба представления синусоидальных величин практически совпадают. В действительности это не так. В случае представления синусоидальных величин комплексными числами можно применить весьма эффективный комплексный метод анализа электрических цепей синусоидального тока, который в настоящее время завоевал всеобщее признание.
Вектор на комплексной плоскости, длина которого в масштабе построения равна действующему значению синусоидальной величины, и соответствующее комплексное число называются комплексным действующим значением синусоидальной величины:
А = Am/yf2 = Ае& = AZil). (2.21)
Так же обозначается и сам вектор на комплексной плоскости (рис. 2.10).
Рис. 2.10 |
Применяются три формы записи комплексного значения синусоидальной величины:
показательная форма
А = Ае&=AZ<ф; (2.22)
тригонометрическая форма
А =A cos <ф +jA sin i|; (2.23)
и алгебраическая форма
А = Rei + j Im Д (2.24)
где Re А = A cos -ф и Im А = A sin г); — действительная и мнимая составляющие комплексного значения синусоидальной величины;
А = д/fRei)2 +(lmi)2; 'Ф =
Переход от показательной формы к тригонометрической выполнен с помощью формулы Эйлера:
=cos г|> ± j sin -ф. (2.25)
При значениях угла /ф = 'к/2иг() = —тг/2из формулы Эйлера следуют два часто встречающихся соотношения
ew2= j И e-w2 = = ^ (2.26)
При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения синусоидальных величин; сокращенно их называют комплексными значениями, а соответствующие векторы на комплексной плоскости — векторами комплексных значений. Например, синусоидальному току
г = /msin(u)£ + oh) = 10sin(<jj£ + 45°) соответствует комплексное значение тока
/ = ie**i = ^j=ej45° = 7,07 Z 45°.
Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты называется векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Это упрощает расчеты и делает их наглядными.
Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы г|; всех комплексных значений уменьшить (увеличить) на одну и ту же величину. Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор называется исходным вектором.
_____ Направления синусоидальных величин (ток,
J*—р напряжение и др.) в цепи периодически изменя
ются, но одно из двух направлений принимается Рис. 2.11 положительным. Это направление выбирается произвольно и показывается стрелкой на схеме соответствующего участка цепи. При выбранном положительном направлении синусоидальная величина представляется мгновенным значением а = ^4msin(u)t + ф) и соответствующим комплексным значением А = AZty [см. (2.21)]. Следовательно, взаимно однозначному представлению синусоидальных токов, напряжений и других величин в виде мгновенных и комплексных значений соответствуют их одинаковые положительные направления (рис. 2.11).
2.8. Закон Ома в комплексной форме для резистивного, индуктивного и емкостного элементов
Зависимости между токами и напряжениями резистивных, индуктивных и емкостных элементов определяются происходящими в них физическими процессами. Математическое описание физических явлений для каждого из этих элементов зависит от выбранного способа представления синусоидальных величин.
Резистивный элемент. Если ток в резистивном элементе синусоидальный
Ч = iRmsm(ut + г^),
то по закону Ома (1.1) напряжение, приложенное к элементу (рис. 2.12), равно
% = Rk = ATjHmSmM + 'ФО = URmsm(ut +
где амплитуды тока и напряжения связаны соотношением
URm= RIRm, (2.27а)
а их начальные фазы одинаковые:
^ = -Ф* (2.276)
т.е. ток и напряжение в резистивном элементе изменяются синфаз- но — совпадают по фазе, как показано на рис. 2.12 для начальной фазы *фи = {> 0.
Разделив правую и левую части выражения (2.27а) на >/2, получим соотношение для действующих значений напряжения и тока резистивного элемента:
UR= RIr. (2.28)
Представим теперь синусоидальные ток и напряжение резистивного элемента соответствующими комплексными значениями (2.22):
Рис. 2.12 |
1Н = /яеЛ и UR= URe*b.
Учитывая (2.28) и (2.276), получим закон Ома в комплексной форме для резистивного элемента:
Ur = Шл. (2.29)
Соотношение между комплексными значениями тока и напряжения для резистивного элемента наглядно иллюстрируется векторной диаграммой (рис. 2.13). Из векторной диаграммы также видно, что векторы комплексных значений тока и напряжения резистивного элемента совпадают по фазе.
Индуктивный элемент. Если в индуктивном элементе ток синусоидальный:
Ч = ^mSinM + 'Фг)»
то по закону электромагнитной индукции (2.3) напряжение на индуктивном элементе равно
uL= —eL= Ldib/dt = wLILmcos(wt + = = ULmsm(ut+ я^ + тг/2) =ULmsm(^t +i|>J, где амплитуды напряжения и тока связаны соотношением
ULm= uLIbm, (2.30а) а их начальные фазы — соотношением
ik = -Ф,- + -к/2. (2.306)
Разделив правую и левую части выражения (2.30а) на >/2, получим соотношение для действующих значений напряжения и тока индуктивного элемента:
Ub= ыЫь = XLIL. (2.31)
Рис. 2.13 |
На рис. 2.14 показан график мгновенных значений синусоидальных тока и напряжения индуктивного элемента (построен при
> 0), из которого видно, что синусоидальный токiLотстает по фазе от синусоидального напряжения иь на угол ср = — 1^=^/2.
ВеличинаXL= ujLв выражении (2.31), единица которой Ом, называется индуктивным сопротивлением, а обратная величинаBL= =I/ujL, единица которой Ом-1 = См, — индуктивной проводимостью. Значения величинXLиBLявляются параметрами индуктивных элементов цепей синусоидального тока.
Представим синусоидальные токiLи напряжениеuLиндуктивного элемента соответствующими комплексными значениями:
iL=ILe*иUL= ULe*
На рис. 2.15 приведена векторная диаграмма для индуктивного элемента. На векторной диаграмме показано, что вектор комплексного значения токаILотстает по фазе от вектора комплексного значения напряженияULна угол тт/2. Пользуясь выражениями (2.31) и (2.26), получим закон Ома в комплексной форме для индуктивного элемента:
UL= =
или
UL= jubiL= jXLiL. (2.32)
Входящая в это выражение величинаjwL = jXLназывается комплексным сопротивлением индуктивного элемента, а обратная ей величина1/juL = —jBL— комплексной проводимостью индуктивного элемента.
Комплексное значение напряжения на индуктивном элементе можно выразить и через комплексное значение потокосцепления.
Из (2.1) следует, что Ф = Ыь, и по (2.32)
ul= -еь = jw Ф. (2.33) |
Рис. 2.14 Рис. 2.15
Это — математическая формулировка закона электромагнитной индукции (2.3) в комплексной форме.
Иногда на векторной диаграмме, например при анализе трансформаторов, изображают также вектор Ёь, который направлен в сторону, противоположную UL, как следует из (2.33), и равен ему по абсолютному значению.
Емкостный элемент. Если напряжение между выводами емкостного элемента изменяется синусоидально:
V>c = f/cmSin(u)£ + <фи),
то по (2.11) синусоидальный ток
гс = Cduc/dt =wCUCmcos(wt + я|;и) = = JCmsin(w£ + o|>tt+тг/2) =ICmsm(ut + где амплитуды напряжения и тока связаны соотношением
I Cm — uCUCm, (2.34а)
а их начальные фазы — соотношением
^ = (2.346)
Разделив правую и левые части выражения (2.34а) на V2, получим соотношение для действующих значений напряжения и тока емкостного элемента:
ис=-^С1с=*с/вс- (2.35)
Величина Вс = ооСв выражении (2.35), единица которой Ом-1 = = См, называется емкостной проводимостью, а обратная величина Хс=1 /и)СУ единица которой Ом, — емкостным сопротивлением. Значения величин Хс и В с являются параметрами емкостных элементов цепей синусоидального тока.
В противоположность индуктивному сопротивлению емкостное сопротивление уменьшается с увеличением частоты синусоидального тока. При постоянном напряжении сопротивление бесконечно велико.
На рис. 2.16 показан график мгновенных значений синусоидальных напряжения и тока для емкостного элемента (построен при я|)м> 0), из которого видно, что синусоидальное напряжение ис отстает по фазе от синусоидального тока гс на угол г|;г — -ф^ = —тт/2, т. е. сдвиг по фазе между напряжением и током ф = г|;м — = — тг/2.
Представим синусоидальные ток гс и напряжение ис емкостного элемента соответствующими комплексными значениями:
L = и йп =
Рис. 2.16 Рис. 2.17
На рис. 2.17 приведена векторная диаграмма для емкостного элемента и показано, что вектор комплексного значения напряженияUc отстает по фазе от вектора комплексного значения тока 1сш угол -к/2.
Учитывая (2.34) и (2.26), получаем закон Ома в комплексной фазе для емкостного элемента:
vс =~jtcic =~jXcic' (2'36)
Величинаl/jwC= -jXClвходящая в это выражение, называется комплексным сопротивлением емкостного элемента, а обратная ей величина.; и>С — jBc— комплексной проводимостью емкостного элемента.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 357; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!