КАТУШКА С МАГНИТОПРОВОДОМ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 2 страница
т Е и U Jill1) и ПЪ т /Т6 Участок внешней характеристики при отрицательных значениях тока соответствует зарядке аккумулятора. Во многих случаях внутреннее сопротивление источника электрической энергии мало по сравнению с сопротивлением R„ и справедливо неравенствоRBTI < Е. В этих случаях напряжение между выводами источника электрической энергии практически не зависит от тока, т. е. U&Е= const. Источник электрической энергии с малым внутренним сопротивлением можно заменить идеализированной моделью, для которой Двт = 0. Такой идеализированный источник электрической энергии называется идеальным источником ЭДС с одним параметром Е= Ux= U.Напряжение между выводами идеального источника ЭДС не зависит от тока, а его внешняя характеристика определяется выражением U=E= const, (1.3) которому соответствует прямая на рис. 1.9, б. Такой источник называется также источником напряжения. На этом же рисунке показано изображение идеального источника ЭДС на схемах. В ряде специальных случаев, в частности в цепях с полупроводниковыми приборами и электронными лампами, внутреннее сопротивление источника электрической энергии может быть во много раз больше сопротивления нагрузкиRn(внешней по отношению к источнику части цепи). При выполнении условияRBT>RHв таких цепях ток источника электрической энергии E/RBT= /кз = J =const, т.е. практически равен току короткого замыкания источника. Источник электрической энергии с большим внутренним сопротивлением можно заменить идеализированной моделью, у которой RBT—> оо и Е —» оо и для которой справедливо равенствоE/RBT= J. Такой идеализированный источник электрической энергии называется идеальным источником тока с одним параметромJ= 1К3. Ток источника тока не зависит от напряжения между его выводами, а его внешняя характеристика определяется выражением I=J — const, (1.4) которому соответствует прямая на рис. 1.9, е. На этом же рисунке дано изображение источника тока на схемах. Участок внешней характеристики с отрицательным значением напряжения соответствует потреблению источником тока энергии из внешней относительно него цепи. От схемы замещения источника энергии на рис. 1.8, а можно перейти к эквивалентной схеме замещения с источником тока. Для этого разделим все слагаемые выражения (1.2) на внутреннее сопротивление источника Двт: U/ RBT= Е/ RBT— I, или Я/Двт - J = U/RBT+ J = I„ + I. Последнее равенство можно истолковать следующим образом: ток источника тока J складывается из тока I в резистивном элементеRH (во внешнем участке цепи) и тока 1ВТ в резистивном элементе с сопротивлением Двт, включенном между выводами а и Ъ источника энергии (рис. 1.8, б). Отметим, что представление реальных источников электрической энергии в виде двух схем замещения является эквивалентным представлением относительно внешнего участка цепи: в обоих случаях одинаковы напряжения между выводами источника. Однако энергетические соотношения в двух схемах замещения не одинаковы. Не равны между собой мощности, развиваемые ис- точнико^-ЭДС (рис. 1.8, a) EI и источником тока (рис. 1.8, б) UJ, а также мощности потерьRBTI2^ Двх/вт (см. о мощности ниже, в 1.15). В теории цепей различают независимые и зависимые источники ЭДС и тока. В последнем случае источники имеют отличительное изображение на схемах, например Е(Г) (рис. 1.9, г),J( U')(рис. 1.9, Э), где Г иU' — ток и напряжение какой-либо из ветвей цепи, а их параметры зависят от значений других величин. 1.7. Первый и второй законы Кирхгофа Два закона Кирхгофа, называемые иногда правилами Кирхгофа, — основные законы электрических цепей. Оба закона были установлены на основании многочисленных опытов. Согласно первому закону Кирхгофа (закону Кирхгофа для токов), алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю: Eh = О, (1.5) k=1 где со знаком плюс записываются токи с положительными направлениями от узла, а со знаком минус — с положительными направлениями к узлу, или наоборот. Иначе: сумма токов, направленных от узла, равна сумме токов, направленных к узлу. Например, для узла цепи на рис. 1.10 к=1 или /3 + /5 = л + /2 + 4 Этот закон является следствием того, что в узлах цепи постоянного тока заряды не могут накапливаться. В противном случае изменялись бы потенциалы узлов и токи в ветвях. (1.6) Согласно второму закону Кирхгофа (закону Кирхгофа для напряжений), алгебраическая сумма напряжений участков любого контура электрической цепи равна нулю: J2uk = °> k=i где т — число участков контура. В (1.6) со знаком плюс записываются напряжения, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, и со знаком минус — противоположно направленные, или наоборот. (1.7) В частности, для контура схемы замещения цепи, содержащего только источники ЭДС и резистивные элементы, алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС: — Yl^k — ^Ек> к=1 к~\ к=1 где т — число резистивных элементов; п — число ЭДС в контуре. ии=Ъ Uad=u3 Рис. 1.11 В (1.7) со знаком плюс записываются ЭДС и токи, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, и со знаком минус — противоположно направленные, или наоборот. Для контуров, содержащих источники тока, например контура У, показанного штриховой линией на рис. 1.11, допустима запись второго закона Кирхгофа только в виде (1.6), но не в виде (1.7). 'л: Второй закон Кирхгофа (1.6) является следствием равенства нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля вдоль любого замкнутого контура длиной I в безвихревом поле <^Edl = 0. Например, для контура 1 на рис. 1.11 по (1.6) .и1 + и2-Щ=0, 4 z k=1 3 __ \ ЛTP ____________ TP I TP i TP Рис. 1.12 = XX =~El + E2 +E3- k=1 В частном случае в контур может входить только одна ветвь цепи, так что он замыкается вне ветвей цепи (рис. 1.12). В этом случае, согласно (1.7),
|
|
|
|
|
|
|
|
RI- U — Е,
откуда
I=(U+E)/R. (1.8)
ГГ> |
Уравнение (1.8) выражает обобщенный закон Ома для любой ветви с источником ЭДС (но без источников тока) с суммарными сопротивлениемRи ЭДС Е или отдельного участка этой ветви с параметрамиRvlE.
1.8. Применение закона Ома и законов Кирхгофа для расчетов электрических цепей
В общем случае схема замещения цепи имеет В ветвей, из которых Вj ветвей содержат источники тока, и У узлов.
Рассмотрим сначала расчет режима в цепи без источников тока, т.е. при В j= 0. Ее расчет сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить У — 1 независимых уравнений по первому закону Кирхгофа иК= В — У + 1 независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми.
для контура 2 по (1.7) 4 ^RJk=—RJi + + h+Rsh= |
Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше числа узлов, потому что ток каждой ветви входит с разными знаками в уравнения для соединяемых ею узлов. Сумма слагаемых уравнений всех узлов тождественно равна нулю.
В качестве примера рассмотрим расчет цепи, схема замещения которой показана на рис. 1.13 и которая содержит У = 2 узла и В = 3 ветви, т. е. К = В- У+1 = 3- 2 + 1 = 2 независимых контура (1 и 2, или У и 3, или 2 и 3).
Произвольно выбираем положительные направления токов ветвей Д, I2f/3. По первому закону Кирхгофа можно составить одно (У — 1 = 2 — 1 = 1) независимое уравнение, например для узла а
-Jx-J2 +/3 = 0 (1.9а)
и по второму закону Кирхгофа — два (К = 2) независимых уравнения, например для контуров 1 и2
RJ, + RSIS= Е, + Е3; (1.96)
R*h + Rzh = E2 + Ez. (1.9в)
Решение системы трех уравнений (1.9) с тремя неизвестными токами, например методом подстановок, определяет токи ветвей 1Ь 1Ъ 13.
Систему алгебраических уравнений сложной цепи, составленных на основе законов Ома и Кирхгофа, целесообразно решать численными методами на ЭВМ. Например, для схемы замещения без источника тока удобно воспользоваться матричной формой
AI = BE, (1.10)
где А и В — квадратные матрицы коэффициентов при токах и ЭДС размером В х Д где В — число ветвей; I и Е — матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.
Элементы матрицы А и В являются коэффициентами в уравнениях (1.10) соответственно при токах и ЭДС. Отсутствие тех или иных токов и ЭДС в каких-либо уравнениях задается значениями «нуль» соответствующих элементов матриц.
Решение системы (1.10):
I = А_1ВЕ = GE, (1.11а)
где
|
«12 а22 |
а1 в а2 в авв Дп Al2 Ах в |
41 *21 |
All Al2
1_ А |
А |
ав1 ав2 |
21 J22 |
д |
*2 в |
Д21 ^22
Afil Дв2 ••Am •• ЛВ2
•••AlB
(1.116) |
- а2В
»вв
— обратная матрица; А иAik— определит ель матрицы А и алгебраические дополнения ее элементов а,^
Gib @2В |
Gn Gn (*22 |
Gis ^23 |
G = А_1В |
(1.11B) |
|
G |
JB1 |
вв |
въ |
@B2 G
|
(1.12) |
— матрица так называемых собственных С?й и взаимных Gfc прово- димостей. Токи ветвей:
h — GnEx+ Gl2E2+... + GlBEB\ h = G2\E\ +G22E2+ ... + G2BEB\
= BE |
1в — GBlEx+ GB2E2+... + GBBEB.
Форма записи системы уравнений (1.12) предполагает, что направления ЭДС и положительные направления токов в ветвях совпадают. Так, система уравнений (1.9) в матричной форме
1 | 1 | -1 | /i | 0 | 0 | 0 | Ei | |
0 | Дз | /2 | = AI = | 1 | 0 | 1 | E2 | |
0 | R2 | Дз | /з | 0 | 1 | 1 | E3 |
У-1 { К |
или
A | 1 | 1 | -1 | -1 | 0 | 0 | 0 | Ег | |
h | — | Ri | 0 | Rz | 1 | 0 | 1 | E2 | |
h | 0 | R2 | R3 | 0 | 1 | 1 | E3 |
|
—R^R^ ~R\Rs
-Д2 |
Да |
— (#2 + Д3)
— (Rxi?2 + ВД +R^R^) — ( + Д3 ) —
|
R2 + i?3 —i?3 R2
-Д3 Ri+ Д3
Ei E2 E* |
J_ R2 |
IGUEI(1.13) |
R2 Ri Ri+R2
|
определяет токи ветвей:
(1.14) |
h = GnEx+ Gl2E2+ GnE3; I2 =+ G22E2+ G23E3'y h — + G32E2+ G33E3,
|
G22 =(^1 +Д3 )/ G33 =(^1 + Щ )/
^12 — — /—G31— /Д2;
^23 — ^32 - Ri / R — у/ВцК2 + + ^2^3-
Математическое обеспечение современных ЭВМ имеет стандартные подпрограммы решения системы алгебраических уравнений в матричной форме.
При расчете схем замещения с источниками тока возможны упрощения. Действительно, токи В3 ветвей с источниками тока известны. Поэтому число независимых контуров (без источников тока!), для которых необходимо составить уравнения по второму закону Кирхгофа, равноК = В - Bj- У+ 1.
С помощью законов Ома и Кирхгофа можно рассчитать режим работы любой электрической цепи. Однако порядок системы уравнений может быть большим. Для упрощения вычислений применяют различные расчетные методы: контурных токов, узловых потенциалов, межузлового напряжения, эквивалентного источника и т.д. Все эти методы основаны на законах Ома и Кирхгофа.
1.9. Метод эквивалентного преобразования схем
В ряде случаев расчет сложной электрической цепи упрощается, если в ее схеме замещения заменить группу резистивных элементов другой эквивалентной группой, в которой резистивные элементы соединены иначе. Взаимная эквивалентность заключается в том, что после замены режим работы остальной части цепи не изменится.
где =(^2 + дз )/ |
Смешанное соединение резистивных элементов. При наличии в цепи одного источника внешнюю по отношению к нему часть схемы можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистивных элементов.
Для расчета такой цепи удобно преобразовать ее схему замещения в эквивалентную схему с последовательным соединением резистивных элементов. Например, в цепи на рис. 1.14, а между узлами а иbвключены три резистивных элемента с сопротивлениямиR2,i23 и Д4, т.е. проводимостямиG2= 1 /Л2,G3= 1 /Д3, С?4 = 1/Д; эквивалентная проводимость
G}=l/i?2 + l/ii3+l/£4. (1.15)
После замены параллельного соединения резистивных элементов эквивалентным резистивным элементом с сопротивлением R3= l/G3получается эквивалентная схема с последовательным соединением двух резистивных элементов Д и Д (рис. 1.14, б).
Ток в неразветвленной части
Л = и/(яг + Д),
и токи в параллельных ветвях
(1.16) |
4 =:Uab/R2; /3 = С/а6/Д; /4 =Uab/R4,
где
Uab = ДЛ-
Соединение резистивных элементов по схеме звезды и треугольника. В общем случае схему замещения цепи по схеме п-луче- вой звезды из резистивных элементов можно заменить эквивалентной схемой в виде n-стороннего многоугольника. Обратное преобразование возможно в ограниченном числе случаев. В частности, преобразования в обоих направлениях возможны для случая треугольника и трехлучевой звезды. Такое преобразование применяется при расчетах сложных цепей постоянного тока и цепей трехфазного тока (см. гл. 3).
Эквивалентность схем в виде треугольника и звезды (рис. 1.15) получается приравниванием значений сопротивлений или проводи- мостей между одноименными узлами этих схем, отсоединенных от остальной части цепи.
Найдем сопротивление между узлами А и В.
|
h------ 1>R\а
KE = U |
© |
uab |
------ О-
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 307; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!