Схема Бернулли. Формула Бернулли
При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно. При этом появление интересующего события в каждом единичном испытании происходит с одной и той же вероятностью. Например, многократное подбрасывание кубика, многократные выстрелы стрелка по мишени и т.д.
Испытания, проводимые по описанной схеме, называются повторными независимыми испытаниями.
Определение. Повторными независимыми называются испытания, удовлетворяющие условиям:
1) количество испытаний n конечно;
2) вероятность появления случайного события A в каждом из испытаний постоянна и равна р.
Серия повторных независимых испытаний называется схемой Бернулли с постоянной вероятностью (или (n,p) схемой Бернулли). Таким образом, в каждом из испытаний схемы Бернулли возможны только 2 исхода:
1. Событие A произошло;
1. Событие A не произошло (т.е. произошло событие, противоположное A).
Обозначим 
Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью р, либо не появиться с вероятностью 
Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при n- испытаниях событие A осуществится ровно m раз и, следовательно, не осуществится n-m раз. Искомую вероятность будем обозначать 
(вероятность того, что в n испытаниях событие произошло ровно m раз). Поставленную задачу решает формула Бернулли.
|
|
|
Формула Бернулли
Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие A наступит m раз и не наступит n-m раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий, равна 
Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т. е. 
. Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления m раз события A в n испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:
или 
Полученную формулу называют формулой Бернулли.
Задача 1. Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,8. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 суток расход электроэнергии не превысит нормы в течение трех суток.
Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в течение суток постоянна и равна 0,8, т.е. р= 0,8. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки постоянна и равна q= 1- р =1-0,8=0,2. Искомая вероятность по формуле Бернулли равна
|
|
|
.
Задача 2. Что вероятнее: выиграть в шахматы у равносильного соперника две партии из четырех или три из шести?
Решение. Т.к. противники равносильны, то вероятность выигрыша в одной партии равна вероятности проигрыша, т.е. p=q= 0,5.
Вычислим каждую из вероятностей по формуле Бернулли:
;
.
Т.к. 
, то вероятнее выиграть у равносильного противника две партии из четырех, чем три из шести.
Использование формулы Бернулли при больших значениях n и m приводит к громоздким вычислениям (например, 
). Возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления 
, обеспечивающих необходимую точность. Такие формулы называются асимптотическими, при большом количестве испытаний вычисления по этим формулам дают малую погрешность. Рассмотрим три асимптотические формулы для вычисления вероятности при 
.
Дата добавления: 2015-12-20; просмотров: 49; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!