Определение эффективных коэффициентов теплопроводности

⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 27Следующая ⇒

3.3.1. Дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности. Граничные условия. Определение стационарного температурного поля в гетерогенной анизотропной среде заключается в решении дифференциального уравнения:

, (3.3.1)

где T – температура тела; K – тензор коэффициентов теплопроводности; q_V – плотность внутренних источников тепла. К дифференциальному уравнению (3.3.1), определяющему температуру тела в точках его объема V, добавляются условия на ограничивающей его поверхности S:

– граничное условие первого рода (условие Дирихле)

(3.3.2)

– заданная на границе температура;

– граничное условие второго рода (условие Неймана)

(3.3.3)

n – единичный вектор внешней нормали к поверхности S; – заданная на границе плотность теплового потока;

– граничное условие третьего рода:

(3.3.4)

– коэффициент теплоотдачи (теплообмена); – температура окружающей среды. Отметим, что наиболее часто встречающимся на практике типом граничных условий являются смешанные граничные условия.

Для гетерогенной среды на границе раздела различных компонентов имеют место условия сопряжения, характеризующие идеальный тепловой контакт:

(3.3.5)

– где индексом ( i) помечены величины, относящиеся к одной фазе, а индексом ( j) – к другой.

3.3.2. Определяющие соотношения. Определяющие соотношения в задачах теплопроводности гетерогенной анизотропной среды записываются в следующем виде (закон теплопроводности Фурье)

(3.3.6)

где q – вектор плотности теплового потока. Тензор коэффициентов теплопроводности K для ортотропных компонентов имеет вид:

(3.3.7)

Соотношения, определяющие соответствие между средними по объему представительного элементагетерогенной среды вектором плотности теплового потока и градиентом температуры называются эффективными определяющими соотношениями и имеют вид:

, (3.3.8)

где – тензор эффективных коэффициентов теплопроводности, который для макроскопически ортотропной гетерогенной среды имеет вид:

(3.3.9)

3.3.3. Эффективные коэффициенты теплопроводности. Тензор эффективных коэффициентов теплопроводности определяется через равенство тепловых потоков в гетерогенной среде и в эквивалентной анизотропной гомогенной среде:

(3.3.10)

Рассмотрим однонаправленный волокнистый композит с двоякопериодической структурой, компоненты которого находятся в идеальном тепловом контакте. Эффективный коэффициент теплопроводности в направлении волокон с высокой степенью точности определяется правилом смесей [32–35]:

, (3.3.11)

где n_c – число компонентов композиционного материала; – объемная концентрация i -го компонента; – коэффициент теплопроводности i -го компонента.

Для определения эффективных коэффициентов теплопроводности нужно решить две задачи о двумерном стационарном распределении температуры в ячейке периодичности. Принимая во внимание симметрию ячейки периодичности, зададим смешанные граничные условия, обеспечивающие “полную тепловую совместность” отдельных ячеек периодичности: