Задачи на вычисление числовых характеристик и
Нахождение законов распределения дискретных случайных
Величин
Задача 3.1Устройство состоит из трех независимо работающих
элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти функцию распределения и числовые характеристики этой случайной величины
Решение – Дискретная случайная величинаХ – число отказавших элементов в одном опыте имеет следующие возможные значения: 
(ни один элемент не отказал), 
(отказал один элемент), 
(отказали два элемента), 
(отказали три элемента).
Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказов равны, поэтому для вычисления вероятностей возможных значений данной случайной величины Х можно применить формулу Бернулли 
. В нашем случае n = 3, p = 0,1, q = 1 – p = 0,9.
Вероятность того, что случайная величина Х примет значение 0, равна:
;
;
;
.
Проверка: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1. Так как сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины Х равна 1, то вычисления выполнены верно.
Закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте можно задать следующей таблицей:
| Х | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Р | 0,729 | 0,243 | 0,027 | 0,001 |
Указание: способ вычисления вероятностей 
зависит от условия задачи.
Найдем функцию распределения F(х) данной случайной величины, используя формулу:
При х ≤ 0 F(x) = 0;
|
|
|
при 0 < x ≤ 1 F(x) = 0,729;
при 1 < x ≤ 2 F(x) = 0,729 + 0,243 = 0,972;
при 2 < x ≤ 3 F(x) = 0,729 + 0,243 + 0,027 = 0,999;
при x > 3 F(x) = 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.
Таким образом, функция распределения F(х) имеет вид:
Найдем числовые характеристики данной случайной величины:
М(Х) = 0×0,729 + 1×0,243 + 2×0,027 + 3×0,001 = 0,3;
D(Х) = М(Х)² – (М(Х))² = 0×0,729 + 1×0,243 + 4×0,027 + 9×0,001 – – 0,09 = 0,27;
Так как данная случайная величина имеет биномиальное распределение, то ее числовые характеристики можно найти по формулам:
М(Х) = np = 3 × 0,1 = 0,3;
D(X) = npq = 3 × 0,1 × 0,9 = 0,27; 
Задача 3.2Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа произведенных выстрелов, считая, что:
а) стрелять можно неограниченное число раз;
б) в наличии есть всего 5 патронов.
Решение – а) Случайная величина Х имеет геометрическое распределение, ее ряд распределения имеет вид
| Х | 1 | 2 | 3 | … |
| Р | р | qp | q²p | … |
Числовые характеристики этого распределения: 
, 
. Так как р = 0,2 и q = 0,8, то 
; 
.
б) Ряд распределения случайной величины Х имеет вид
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | p | qp | q²p | q³p | 
|
|
|
|
Поэтому
Задачи на вычисление числовых характеристик и
Нахождение вероятностей попадания непрерывных
Случайных величин в заданный интервал
Задача 4.1Непрерывнаяслучайная величина Х задана функцией распределения
Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:
а) не меньшее 0,5;
б) заключенное в интервале (-0,5; 0,5).
Решение – Сначала найдем плотность вероятностей данной непрерывной случайной величины, используя формулу f(x) = F′(x). Получим:
Теперь вычислим математическое ожидание и дисперсию:
;
Для вычисления искомых вероятностей воспользуемся формулой Р(а < X < b) = F(b) – F(a) и определением функции распределения случайной величины Х: F(x) = P(X<x). Получим:
а) Р(Х ≥ 0,5) = 1 – Р(Х < 0,5) = 1 – F(0,5) = 1 – 0,5³ = 1 – 0,125 = 0,875;
б) Р(-0,5 < X < 0,5) = F(0,5) – F(-0,5) = 0,5³ - 0 = 0,125.
Указание: если функция распределения и плотность вероятностей равны разным функциям на нескольких промежутках, то математическое ожидание и дисперсию следует вычислять как сумму соответствующих интегралов.
|
|
|
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 1197; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!