Тема 2.5 Двумерные случайные величины
Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины. Функция распределения двумерной СВ, ее свойства. Плотность распределения вероятностей двумерных непрерывных случайных величин, ее свойства. Числовые характеристики двумерной случайной величины
Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
Литература: [2]; [4]; [5]; [6]; [7]; [12]; [13]
Вопросы для самоконтроля
1 Двумерная случайная величина
2 Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
3 Функция распределения двумерной случайной величины, ее свойства
4 Плотность распределения вероятностей двумерных непрерывных случайных величин, ее свойства
5 Математическое ожидание и дисперсия двумерной случайной величины
6 Зависимые и независимые случайные величины. Необходимые и достаточные условия независимости дискретных и непрерывных случайных величин, образующих систему (Х, У)
7 Корреляционный момент для дискретных и непрерывных случайных величин
8 Коэффициент корреляции и его свойства
Методические рекомендации
Во многих практических задачах результат опыта описывается не одной, а двумя (или более) случайными величинами Х и У. В этом случае говорят о системе двух случайных величин (Х, У) (или двумерной случайной величине (Х, У)). Геометрически систему двух случайных величин (Х, У) можно интерпретировать как случайную точку на плоскости.
|
|
|
Закон распределения системы (Х, У) двух дискретных случайных величин в случае конечного числа значений можно задать формулой:
, i = 1, …, n, j = 1, …, m (48)
или с помощью таблицы с двойным входом:
| Х \ У | 
| 
| … | 
|
| 
| 
| … | 
|
| 
| 
| … | 
|
| … | … | … | … | … |
| 
| 
| … | 
|
где 
Функцией распределения (или интегральной функцией) двумерной случайной величины (Х, У) называется функция F(x, y), которая для любых действительных чисел х и у равна вероятности совместного выполнения двух событий (Х < х) и (У < у), т.е. 
.
Свойства двумерной функции распределения:
1) 
;
2) 
– не убывает по каждому из своих аргументов:
при 
; 
при 
;
3) 
непрерывна слева по каждому из своих аргументов;
4) 
= 
= 
=0;
5) 
;
6) 
, где 
и 
– функции распределения случайных величин Х и У соответственно.
Значение 
функции распределения в случае системы (Х, У) двух дискретных случайных величин находится суммированием всех вероятностей 
, для которых 
, 
,т.е.
(49)
В случае системы непрерывных случайных величин (Х, У) ее закон распределения удобно задавать с помощью плотности распределения.
|
|
|
Плотностью распределения вероятностей (или просто плотностью) системы (Х, У) двух непрерывных случайных величин называется вторая смешанная производная ее функции распределения, т.е.
(50)
Свойства двумерной плотности распределения вероятностей:
1) 
;
2) 
3) 
, где D – произвольная область;
4) 
5) 
Математическим ожиданием двумерной случайной величины (Х, У) называется совокупность двух математических ожиданий М(Х) и М(У) (т.е. упорядоченная пара (М(Х), М(У))), определяемых равенствами:
и 
(51)
если Х и У – дискретные случайные величины;
и 
, (52)
если Х и У – непрерывные случайные величины.
Дисперсия двумерной случайной величины:
и 
, (53)
если (Х, У) – система дискретных случайных величин ( 
);
(54)
(55)
если (Х, У) – система непрерывных случайных величин.
Случайные величины Х и У называются независимыми, если независимыми являются события 
и 
для любых действительных чисел х и у. В противном случае случайные величины называются зависимыми.
В случае системы двух дискретных случайных величин (Х, У) необходимым и достаточным условием их независимости является равенство:
|
|
|
(56)
выполняющееся для любых i = 1, …, n, j = 1, …, m.
Необходимым и достаточным условием независимости двух непрерывных случайных величин Х и У, образующих систему (Х, У), является равенство:
(57)
Для характеристики связи между величинами Х и У служит корреляционный момент 
, который для дискретных случайных величин вычисляется по формуле:
(58)
а для непрерывных – по формуле:
(59)
Корреляционный момент удобно вычислять по формуле:
(60)
Если 
= 0, то случайные величины Х и У независимы (некоррелированные). Если ≠ 0, то Х и У зависимы (коррелированные).
Коэффициент корреляции 
двух случайных величин Х и У есть безразмерная величина, определяемая равенством:
, (61)
где 
и 
– среднеквадратические отклонения соответственно
величин Х и У.
Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости случайных величин Х и У.
Свойства коэффициента корреляции:
1) 
2) если Х и У – независимые случайные величины, то 
;
3) если случайные величины Х и У связаны линейной зависимостью 
, 
, то 
, и наоборот.
|
|
|
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 261; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!