Лекція. Наближені методи обчислення визначених інтегралів.
План вивчення теми
1.Формула прямокутників.
2.Формула трапецій.
3.Формула параболічних трапецій (Формула Симпсона).
4.Розвязування прикладів.
Домашнє завдання: індивідуальні завдання (30 варіантів)
Формули прямокутників.
;
.
Формула трапеції:
.
Формула параболічних трапецій (формула Сімпсона):
Приклад 1.Обчислити за допомогою формули Сімпсона 
, прийняв n =2.
Розв’язання:
.
Тому що 
то
.
Точне значення інтегралу є 
; відносна похибка 
%.
Приклад 2.Застосовуючи формулу прямокутників (n = 10), наближено обчислимо 
(розрахунки вестимемо з трьома знаками після коми). Оцінити похибку наближення.
Розв’язання.
Розіб’ємо відрізок [1;2] на 10 рівних частин точками ( 
).Обчислимо значення підінтегральної функції 
у вибраних точках. Результат запишемо в таблицях.
| Хі | 1 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 | 1,7 | 1,8 | 1,9 | 2 |
| Уі | 1,0 | 0,909 | 9,833 | 0,769 | 0,714 | 0,667 | 0,625 | 0,588 | 0,556 | 0,526 | 0,5 |
Дістанемо 
, маємо 
.
Оцінюємо похибку наближення. Оскільки 
, то 
монотонно спадає на відрізку [1;2]. Тому 
. Отже, 
.
Оскільки допустима похибка з’являється вже на другому знаку після коми, третій знак слід округлити, остаточно маємо 
.
Обчислимо точно даний інтеграл за формулою Ньютона – Лейбніца:
.
Допущена похибка 0,03.
Приклад 3.Застосовуючи формули прямокутників, трапеції, Сімпсона (n = 10), наближено обчислимо 
.
|
|
|
За формулою прямокутників:
За формулою трапецій:
За формулою Сімпсона:
Точне значення цього інтегралу 
.
Приклад 4.Для даного інтеграла 
оцінити похибку за формулою прямокутників із кроком 
.
Маємо 
Отже, 
. Використовуючи похибку для формул прямокутників, дістанемо 
.
Приклад 5.Знайти крок h, при якому похибка при наближеному обчисленні інтеграла за формулою Сімпсона не перевищуючи 
, 
.
Маємо 
. 
.Оскільки 
Враховуючи, що в формуліСімпсона 
, з похибки цієї квадратурної формули дістаємо 
, звідки 
.
Для визначення кроку 
у формулі трапеції оцінимо 
.
і 
, бо 
Використаємо формулу для похибки методу трапецій. Дістанемо 
,отже, 
Тоді за формулою трапецій маємо 
Приклад 6.Користуючись подвійним прорахунком, оцінити похибку результату обчислення інтеграла 
із заданим кроком 
за формулою Сімпсона.
Обчислення заданого інтеграла за формулою Сімпсона із кроком 
, дає результат 
, а з кроком 
маємо 
. Отже, похибка обчислень 
, і за формулою маємо 
.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 250; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!