Інтегрування раціональних дробів.
1. 
;
2. 
3. 
4) 
5. 
6. 
Лекція3. Визначений інтеграл. Основні властивості. Формула Ньютона – Лейбніца. Методи обчислення означених інтегралів.
План вивчення теми
1. Означення криволінійної трапеції.
2. Геометричний зміст визначеного інтеграла.
3. Означення визначеного інтеграла.
4. Формула Ньютона – Лейбніца.
5. Приклади обчислення визначених інтегралів.
Домашнє завдання:[3] гл1; §1-3 [2] §1 с. 8-28; [4] с. 506-526, індивідуальні завдання (30 варіантів)
Означений інтеграл і його властивості.
Визначений інтеграл і його геометричний зміст.
Нехай функція F(x) є первісної для функції f(x) у деякому проміжку Х, а числа a і b належать цьому проміжку.
Приріст F(b) – F(a) кожної з первісних функцій (x) + C при зміні аргументу від х = а до х = b називається означеним інтегралом від а до b функції f(x) і позначається 
(читається: « інтеграл від а до b еф від ікс де ікс»).
Числа а і b називаються границями інтегрування, а – нижньою, b – верхньою. Відрізок 
називається підінтегральною функцією, а змінна х – змінної інтегрування.
Нехай дана функція f(x), визначена на відрізку , де а<b. Виконаємо наступні операції:
1.) розіб'ємо відрізок на n частин точками х 
( i = 0, 1, 2, …, n) так щоб
а = х 
<x 
;
2.) позначимо: 
; величину 
назвемо кроком розбивки.
3.) у кожнім з відрізків 
зафіксуємо довільну точку 
Є ;
4.) складемо суму Q 
усіх добутків f( 
(i= 1 ,…,n):
Q 
,
Або, у скороченому вигляді,
Q 
(14.)
Суми вигляду (14.) називаються інтегральними сумами функції f(x). Якщо функція f(x) додатня на , площі прямокутника з основою довжини 
і з
висотою 
. А вся сума Q дорівнює площі « східчастої фігури», що
виходить об'єднанням усіх зазначених вище прямокутників (мал.2).
При різних розбивках відрізка на частині одержимо різні
інтегральні суми виду (14) , отже і різні «східчасті фігури». Таким чином, для даної функції f(x) і даного відрізка можна скласти нескінченна безліч інтегральних сум виду (14), що залежать від числа n і від вибору точок розподілу х і точок 
.
Якщо при будь-якій послідовності розбивок відрізка таких, що 
і при будь-якому виборі точок 
інтегральна сума 
прагне до тої самої кінцевої межі А:
те число А називається означеним інтегралом від функції f(x) на відрізку і позначається .
Отже, по визначенню
. (15).
Функція f(x), для якої існує означений інтеграл (15), називається інтегрованою на відрізку .
Усяка неперервна на відрізку функція f(x) інтегрована на цьому відрізку.
Геометричний зміст означеного інтеграла полягає в тім, що: якщо функція, що інтегрується на відрізку, f(x) ненегативна, чисельно означений інтеграл чисельно дорівнює площі S криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x), віссю абсцис і прямими х=а і , х=b, тобто
.
Означений інтеграл залежить тільки від функції, що інтегрується, f(x) і меж інтегрування а і b, але і від того якою літерою позначається змінна інтегрування. Тому
(16).
і т.д.
Відповідно до визначення (6) означений інтеграл є межа інтегральної суми, число членів якої необмежено зростає, а кожен доданок прагне до нуля. Зі шкільного курсу, звісно. Що рішення ряду задач зводиться до обчислення меж інтегральних сум виду (14). Цим мотивується необхідність уведення визначення 6.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 247; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!