Основні властивості означеного інтеграла.

У цьому випадку відповідно до геометричного змісту визначеного інтеграла площа S чисельно дорівнює , тобто

                                  S =  .                    (1)

Приклад 1. Обчислити площа фігури, обмеженої лініями     

∆ Застосувавши формулу (1), знайдемо

 ▲

2. Фігура обмежена графіком неперервна і ненегативний на відрізку [a; b] функції f(x), віссю Ох і прямими x=a і x=b. (мал. 2)

Розглянемо функцію - f(x). Фігура a₁B₁b симетрична фігурі aABb щодо осі Ох (.мал. 2), а отже, їхньої площі S₁ і  S рівні. Але

тому                                                                    (2)

Приклад 2. Обчислити площа фігури, обмеженої лініями y = - x² - 1, y = 0, x = -1, x = 2 (мал.3).

∆ По формулі (2) знаходимо

     . ▲

3. Фігура обмежена віссю Ох, прямими x = a і x = b і графіком функції f(x), що безупинна на відрізку [a; b] і. змінює свій знак кінцеве число раз на цьому відрізку(мал. 4).

 У цьому випадку розбивають відрізок [a; b] на такі часткові відрізки, на яких функція f(x) знакопостійна (на мал.4 мається три таких відрізки: [a; з], [з; d], [d; b]). Очевидно, що шукана площа S чисельно дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів, узятих по кожному з отриманих відрізків, причому знаки, з якими ці інтеграли входять в алгебраїчну суму, збігаються зі знаками функції f(x) на відповідних відрізках.

Так, наприклад, площа фігури, зображеної на мал. 4, обчислюється по формулі  

Приклад 3.Обчислити площа фігури, обмеженої лініями y = sin x, y = 0, x = - ?/2, x = ? (мал 5).

∆ Очевидно, что sinx £ 0 для всех x Î[-p/2; 0] і sinx ³ 0 для всех x Î[0; p]. Тому

                            . ▲

4.Фігура обмежена графіками двох неперервних на відрізку функцій і прямими х = а, х = у, де  (мал.6).У цьому випадку шукана площа S обчислюється по формулі.

Приклад 4.Обчислити площа фігури, обмеженої лініями

                                   (мал. 7)

∆ Межі інтегрування a і b знаходимо із системи рівнянь

Звідси  тобто  відкіля  й  Отже, . Тому що на відрізку [-3; 6] для  маємо , то по формулі (3) знаходимо

                                                                                                                                                                                                                                           . ▲

5. Фігура обмежена графіками трьох і більш неперервних на відрізку функцій.

У цьому випадку намагаються шукати площу представити у виді алгебраїчної суми площ, обчислення кожної з який зводиться до одному з попередніх випадків.

Так, наприклад, площа фігури , зображеної на мал. 8, обчислюється по чи формулі

  .              (4)

Приклад 5. Обчислити площа плоскої фігури, обмеженої лініями                    

 (мал. 9)

 ∆ З мал. 9 видно, що шукана площа                        

                                 чи

                                ▲

Приклад 6. Обчислити площу фігури, обмеженої: 1) синусої­дою у = sin х і відрізком [0; ] осі Ох (мал. 42); 2) кубічною параболою у = х³, віссю Ох та прямими х = 2 і х =5 (мал. 43).

Р о з в ’ я з а н н я.

1) S = sin xdx = - cos x  = - (cos  – cos0 ) = - (- 1 - 1) = 2 (кв.од.)

Мал. 42                                              Мал. 43

2) S = = (5⁴-2⁴) = (5²+2²) (кв.од.).

Виникає запитання, як обчислити площу фігури, обмеженої графіками двох неперервних функцій y=f(x) і y = φ(х) (мал. 44)

Неважко помітити, що S_A1ABB1= ,за першою властивістю інтеграла.

Приклад 6. Обчислити площу фігури, обмеженої кривими у = X² і y = X³.

Р о з в ’ я з а н н я.  

Побудувавши ескізи графіків функцій (мал. 45), з'ясуємо, площу якої фігури слід знайти, графіки яких функцій її обмежують і визначимо межі інтегрування.

У даному випадку f(x) = x², φ(x) = x³, a = 0, b = 1.

Чи можна застосувати формулу  , якщо фігура, площу якої треба обчислити, розміщена частково чи повністю під віссю Ох (мал. 46).

Щоб переконатися в цьому, досить пере­нести дану фігуру паралельно вздовж осі Оуна відстань ттак, щоб вона розмістилася над віссю Ох (мал. 47).

А таке перетворення означає, що дані функції y = f(x) і y = φ(x) ми замінили на нові функції f₁{x)= f(x) + m і φ₁ = φ(x) + m. Площа фігури, обмеженої графіками цих функцій, дорівнює площі даної фігури.

Тому шукана площа

Мал. 44                                Мал. 45

                  Мал. 46                   Мал. 47

    Якщо позначити f(x) – φ(x) = q(x), то S = q(x)dx.  

Це означає, що для обчислення площі важливої є не форма фігури, а довжина відрізка q(x) ординати, що дорівнює різниці ординат точок графіків відповідних функцій y = f(x) і y= φ(x). 

Отже, якщо взяти дві інші функції у = f₁(x) і у = φ₁(x), які задовольняють умови f₁(x) – φ₁(x) = q(x) у будь-якій точці х [а;b], то площа фігури, обмеженої графіками цих функцій, дорівнюватиме площі фігури, обмеженої графіками функцій y = f(x) i y = φ(x) (мал. 48).

    Приклад 7. Знайти площу фігури, обмеженої параболою у = 4 – х² та прямими  (мал. 49).

Мал. 48                   Мал. 49

Р о з в ’ я з а н н я.  

На відрізку [-2,0]

а на відрізку [-2;0]

    Шукану площу знаходимо як суму двох визначених інтегралів:

 (кв.од.).

    Площа даної фігури можна обчислити раціональніше, якщо звернути увагу на те, що фігура симетрична відносно осі Оу.

    Тому

     (кв.од.).

           Зазначимо, що коли криволінійна трапеція розміщена під віссю Ох (мал. 50), то  - від’мний. Тоді вважатимемо, що S =

Обчислення об’єму тіла по відомих площах його поперечних переріз.

Нехай потрібно обчислити обсяг V тіла, укладеного між двома перпендикулярними до осі Ох площинами х = а, х = b (мал. 10).

Припустимо, що відомо площу будь-якого перетину тіла площиною, перпендикулярної до осі Ох.

Ця площа залежить від положення січної площини, тобто є функцією від х. Позначимо її через S(x) і допустимо, что вона неперервна на відрізку [a; b].

Розіб'ємо відрізок [a; b] на n частин тачками                                              

і через точками розподілу проведемо площини, перпендикулярні до осі Ох.

    Ці площини розіб'ють тіло на n шарів. Позначимо через обсяг слоя, ув'язненого між площинами х = х_i-1 і х = х_i. Тоді DV_i приблизно дорівнює обсягу циліндра, висота якого дорівнює  , а підстава збігається з поперечним перерізом, утвореним перетинанням тіла якою-небудь площиною

По визначенню маємо            (1)

Обчислення об’єму тіла обертання.

Приклад 8. Обчислити обсяг тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями    (мал. 12)

Δ Таке тіло називається параболоїдом обертання. Застосувавши формулу (1), одержимо ▲

Задача про обчислення об’єму тіла розв’язується аналогічно до задачі про площу криволінійної трапеції.

    Нехай задано тіло Т і координатна пряма Ох у просторі (мал. 51).

  Проведемо площини, перпендикулярні до прямої Ох так, щоб вони перетинали тіло Т або дотикалися до нього. Дотичні площини, що обмежують тіло, перетнуть вісь Ох у точках a і b, а будь яка площина між ними перетне її в точці х.

 Позначимо площу перерізу тіла цією площиною через S. Кожному значенню х з відрізка [а;b] відповідатиме певне значення площі перерізу S = S(x). 

Площина перерізу буде відтинати тіло, об’єм якого є також функцією х, тобто V = V(x). Тому можна стверджувати, що на відрізку [а;b] визначена функція S(x).

Якщо вона неперервна на відрізку [а;b], то функція V(x) є первісною для функції S(x) і справджується формула

              Мал. 50                         Мал. 51

Строге доведення цієї формули дано в курсі математичного аналізу. Наведемо лише геометричні міркування, які приво­дять до вказаної формули.

Розіб'ємо відрізок [а;b] на п рівних частин точками

а = х₀ <x₁<x₂<…<x_R-1<x_R,…<x_n-1<x_n=b.

Позначимо довжини кожного з відрізків розбиття через х =  де R=1,2,…, n.

Через кожну точку розбиття проведено площину, перпендикулярну до осі Ох.  Проведені площини розіб'ють тіло Т на шари.

Об'єм шару, що міститься між площинами, які проходять через точки x_R-1 i x_R при досить малих х (тобто досить великих n), наближено дорівнює добутку площі S(x_n-1) на х.

 Якщо утворити суму

V_n = S(x₀) х + S(x₁) х + ... + S(x_n-1) х =

= (S(x₀) + S(x₁) + … + S(x_n-1))

то V_n V. Ця наближена рівність виконується а будь-якою точ­ністю при досить великих n. Отже, цілком природно, що

V= V_n= (S(x₀) + S(x₁) +…+ S(x_n-1))

Границю такої суми, як і в задачі про площу криволінійної трапеції, називають визначеним інтегралом і позначають

 Тому .

Наведемо приклади застосування формули для обчислення об'ємів різних тіл.

Приклад9. Знайти формулу об'єму кулі, радіус якої дорівнює R.

Розв'язання.

Оскільки в перерізі кулі утворюється круг, то розмістимо її так, щоб точка О відліку збігалася з проекцією центра 0₁ кулі (мал. 52) на координатну пряму.

    З , де , за теоремою Піфагора,

КР²=О₁Р²-О₁К². Оскільки О₁Р=R, O₁K=x, KP=r– радіус

круга, який утворюється в перерізі, то r2 = R² –x²,

a S(x) = (R²-x²). Отже,

= , тобто об’єм кулі дорівнює .

    Приклад 10. Знайти формулу об'єму кругового циліндра з площею основи S і висотою Н.

Розв'язання.

 У кругового циліндра (похилого чи прямого) (мал. 53, а, Ь) будь-яка площа паралельних перерізів стала і дорівнює S.

Тому координатну пряму Ох проведемо перпендикулярно до площини основи, а точку відліку вибере­мо в точці її перетину з площиною основи. Вісь Ох перетне площину другої основи в точці Н, де Н — висота циліндра. Тоді

                                 .

Отже, об’єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту:

Ця формула виявилась однаковою і для похилого і для прямого кругового циліндра.

Приклад 11.Знайти формулу об'єму піраміди з площею основи S і висотою Н.

Розв'язання. Нехай координатна пряма Ох проходить через вершину піраміди перпендикулярно до площини її осно­ви (мал. 54). Виберемо за точку відліку вершину піраміди.

Перетнемо піраміду площиною, паралельною площині осно­ви, на відстані х від вершини. Площа перерізу є функцією відста­ні х. За відомою теоремою з геометрії про відношення площ та­ких перерізів (вони є многокутниками, подібними до основи піра­міди),

 Тому

Отже, об’єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі осякої піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту:

V= SH

Приклад 12.Знайти формулу об'єму тіла обертання.

Розв'язання.

Розглянемо криволінійну трапецію аАВЬ, обмежену графіком неперервної функції у = f(х) (мал. 55).

Під час обертання трапеції навколо осі Ох утвориться тіло обертання. Будь-яким перерізом тіла обертання є круг радіуса r = f(x).

Площа перерізу S(x) = , тому об'єм тіла обертання знайдемо за формулою

.

За цією формулою обчислимо, на­приклад, об'єм прямого кругового конуса (мал. 56), радіус основи якого дорівнює R, а висота — Н.

    Мал. 55                                     Мал. 56

Для цього треба знайти спочатку рівняння прямої ОB, що проходить через точки О(0; 0) і В(Н; R). З курсу геометрії відомо, що рівняння прямої має вигляд ax + by + c = 0.

Оскільки точки О і В належать цій прямій, то їх координа­ти задовольняють рівняння прямої. Підставляючи координа­ти в рівняння, дістанемо дві рівності:

Підставляючи с = 0 у другу рівність, дістанемо аН + bR=0.

 Звідси .

    Підставимо значення а і с у рівняння прямої. Дістанемо:

                                 .

Поділивши обидві частини цієї рівності на b, матимемо:  

Звідси рівняння прямої ОВ.

    Отже, а ,

Тобто, об'єм конуса дорівнює одній третині добутку площі основи  на висоту Н:        

За допомогою формули об'єму тіла обертання можна обчис­лити об'єм кулі і циліндра.

Приклад 13.Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням па­раболічного сегмента з висотою Н і основою 2R навколо осі симетрії (мал. 57).

Розв'язання. При такому виборі осей координат рівняння

параболи має вигляд у² = _Rх. Щоб знайти _R, врахуємо, що точка А (Н; R) належить параболі, тому її координати задовольняють рівняння параболи. Підставляючи у рівняння замість х число Н, а замість y – число R, дістанемо R² = _RH. Звідси _R = . Підставляючи зна­чення _R у рівняння параболи, матимемо

Шуканий об'єм тіла знайдемо за формулою , де f(x) = y:

.

Мы поможем в написании ваших работ!