Інтегрування методом заміни перемінної (методом підстановки).
Обчислити заданий інтеграл безпосереднім інтегруванням удається далеко не завжди, а іноді це зв'язано з великими труднощами. У цих випадках застосовують метод чи підстановки заміни перемінної інтегрування.
Сутність цього методу полягає в тім, що шляхом уведення нової перемінної інтегрування вдається звести заданий інтеграл до нового інтеграла, що порівняно легко береться безпосередньо.
Розглянемо цей метод.
Нехай f(x) – безупинна функція і потрібно знайти 
, причому безпосередньо важко підібрати таку функцію F(x), щоб F’(x) = f(x) чи
. (8).
Зробимо заміну перемінної інтегрування х по формулі
, (9).
де функція 
монотонна, має безупинну похідну й існує складна функція 
(а отже існує і 
.
Застосувавши до 
формулу диференціювання складної функції, одержимо
. 
Але 
, тому
. (10).
Таким чином, функція 
є первісної для функції 
, і тому
. (11).
З огляду на, що 
, з (8) і (11) випливає формула заміни зміною в невизначеному інтегралі
. (12).
Формально формула (12) виходить заміноюх на , тобто f(x) на і dx на 
.
В отриманому послу інтегрування по формулі (12) результаті варто перейти знову до перемінного х. Для цього досить знайти функцію 
. Це завжди можливо, тому що по припущенню функція 
монотонна.
|
|
|
Приклад 14.Знайти 
.
Зробимо підстановку х = 2t, тоді dx = 2dt. Отже,
.
Зауваження 2. У практиці інтегрування часто застосовуються підстановки виду , тобто нова змінна інтегрування вводиться як деяка функція змінної х.
Приклад 15. Знайти 
.
Зробимо підстановку 3х – 5 = t. Знайдемо диференціал від обох частин підстановки: 3dx = dt, відкіля 
. Отже,
.
Замінивши t його вираженням з підстановки, одержимо
.
Приклад 16.Знайти 
.
Покладемо 1 + 2sin x = t, тоді 2cos x dx = dt, чи cos x dx= 
. Отже,
.
Приклад 17.Знайти 
.
Покладемо x 
- 2 = t, тоді 3x 
dx = dt, чи x dx = 
dt. Отже,
.
Приклад 18.Знайти 
.
2.3. Інтегрування частинами. Нехай функції u = u(x) і v = v(x) мають
неперервні похідні на деякому проміжку Х. Знайдемо диференціал добутку цих функцій:
d(uv) = u’vdx+ uv’dx.
Тому що за умовою функції u’v і uv’ безупинні, можна проінтегрувати обидві частини цієї рівності,
,
чи
.
Але 
, отже,
. (13.)
У правій частині формули (13) сталу інтегрування С не пишуть, тому що вона фактично присутня в інтегралі 
. Формула (13) називається формулою інтегрування частинами.
|
|
|
Сутність методу інтегрування частинами цілком відповідає його назві. При обчисленні інтеграла цим методом підінтегральний вираз f(x)dx зображується у виді добутку множників u і dv; при цьому dx обов'язково входить у dv.
У результаті виходить, що заданий інтеграл знаходять частинами: спочатку знаходять 
, а потім .
Цей метод застосуємо лише у випадку, якщо задача перебування зазначених двох інтегралів більш просте, ніж перебування заданого інтеграла.
Приклад 19.Знайти 
.
Покладемо u = x, dv = sin2xdx, тоді
du = dx, v = 
.
По формулі (13) знаходимо
.
При обчисленні інтегралів методом інтегрування частинами головним є розумна розбивка підінтегрального виразу на множники u і dv.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 206; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!