Однофакторная линейная регрессия

Цель работы: приобретение навыков построения и анализа линейной функции регрессии для двумерных выборок методом наименьших квадратов.

Краткие теоретические сведения.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y). Если зафиксировать значение одной случайной величины, например , тогда значения другой случайной величины Y можно рассматривать как отдельную случайную величину со своим законом распределения и своими числовыми характеристиками, которые называются условными.

Условное математическое ожидание случайной величины при условии, что , называется функцией или уравнением регрессии Y на X: т.е. .

Если же функция  имеет вид: , то регрессия называется линейной.

Установление формы зависимости, оценки функции регрессии и ее параметров являются задачами регрессионного анализа.

Оценкой функции регрессии между случайными величинами X и Y является выборочное уравнение регрессии: , которое получают по данным выборки.

Пусть имеется выборка из двумерной совокупности ( ) , ( ) , …, ( ). Для построения выборочного уравнения регрессии необходимо найти коэффициенты а и b, которые находятся по данной выборке методом наименьших квадратов.

Суть данного метода состоит в том, что находится минимум функции S(a,b):

Для нахождения минимума получаем систему уравнений:

                       

 

После преобразования получаем систему линейных уравнений:

Решая ее, находим а и b и записываем выборочное уравнение регрессии . Для того чтобы установить, соответствует ли выбранная регрессионная модель экспериментальным данным, используют основное уравнение дисперсионного анализа:

                , в котором

 - общая сумма квадратов отклонений: ;

- сумма квадратов, обусловленная регрессией;

 - остаточная сумма квадратов,

 где      , а .

 Для проверки значимости уравнения регрессии для уровня значимости a сначала находим критическую точку  по таблицам Фишера с k₁=1 и k₂ = n-1 степенями свободы, а затем вычисляем наблюдаемое значение критерия:

 

Если , то уравнение регрессии считается значимым, то есть соответствующим экспериментальным данным на уровне значимости a.

 

Порядок выполнения работы:    

1. Изучить теоретические сведения по теме.

2. Выполнитьзадания №1 –№2, используя заданные преподавателем статистические данные.

3. Провести сравнение и анализ полученных данных.

    4. Оформить отчет.

Задание 1. По второй тройке столбцов выборки C для двумерных выборок XY, XZ, YZ методом наименьших квадратов найти выборочные линейные уравнения регрессии соответственно: Y на X, Z на X, Z на Y и построить их графики.

Методом дисперсионного анализа выяснить значимость полученных линейных уравнений регрессии при уровне значимости a=0,05.

Задание 2. По выборке C для двумерных выборок XY, XZ, YZ найти    выборочные линейные уравнения регрессии соответственно: Y на X, Z на X, Z на Y ; построить их графики и выяснить значимость полученных линейных уравнений регрессии при уровне значимости a=0,05 с помощью инструмента Регрессия Пакета анализа табличного процессора EXCEL.     

 

Решение типовых заданий.

Задание 1. По двумерной выборке XY методом наименьших квадратов найти выборочное линейное уравнение регрессии Y на X .

Методом дисперсионного анализа выяснить значимость полученного уравнения регрессии при уровне значимости a=0,05.

Решение.      Для вычисления параметров уравнения линейной регрессии и проверки его значимости, составим расчетную таблицу 7.1. Исходные данные включены в первые два столбца таблицы, итоговые суммы находятся в последней строке.
                                                                                                                                   Таблица 7.1

					-	( - )2
29	-59	-1711	841	-67,91	1,26	1,59	8,91	79,32
30	-67	-2010	900	-70,07	-0,90	0,81	3,07	9,41
30	-71	-2130	900	-70,07	-0,90	0,81	-0,93	0,87
32	-65	-2080	1024	-74,39	-5,22	27,26	9,39	88,13
30	-63	-1890	900	-70,07	-0,90	0,81	7,07	49,94
30	9	-2370	900	-70,07	-0,90	0,81	-8,93	79,80
29	-63	-1827	841	-67,91	1,26	1,59	4,91	24,07
31	-73	-2263	961	-72,23	-3,06	9,37	-0,77	0,60
30	-62	-1860	900	-70,07	-0,90	0,81	8,07	65,07
29	-73	-2117	841	-67,91	1,26	1,59	-5,09	25,95
29	-71	-2059	841	-67,91	1,26	1,59	-3,09	9,57
29	-68	-1972	841	-67,91	1,26	1,59	-0,09	0,01
30	-68	-2040	900	-70,07	-0,90	0,81	2,07	4,27
29	-78	-2262	841	-67,91	1,26	1,59	-10,09	101,88
28	-71	-1988	784	-65,75	3,42	11,70	-5,25	27,61
29	-63	-1827	841	-67,91	1,26	1,59	4,91	24,07
29	-66	-1914	841	-67,91	1,26	1,59	1,91	3,63
27	-66	-1782	729	-63,59	5,58	31,15	-2,41	5,83
27	-58	-1566	729	-63,59	5,58	31,15	5,59	31,20
28	-67	-1876	784	-65,75	3,42	11,70	-1,25	1,57
32	-73	-2336	1024	-74,39	-5,22	27,26	1,39	1,93
29	-73	-2117	841	-67,91	1,26	1,59	-5,09	25,95
31	-80	-2480	961	-72,23	-3,06	9,37	-7,77	60,41
33	-83	-2739	1089	-76,55	-7,38	54,49	-6,45151	41,62
710	-1660	-49216	21054			232,62		762,72

 

     Будем искать функцию регрессии в виде: , где коэффициенты  и находятся из системы:

Подставляя найденные из таблицы 7.1 суммы и n = 24 , получаем систему линейных уравнений:

Решая ее, получим а » -5,25; b » -2.16 ; тогда уравнение регрессии имеет вид:

                                 .

   Выясним значимость полученного уравнения линейной регрессии.

Из таблицы 7.1 видно, что

= 232,62; = 762,72 .

 

Найдем наблюдаемое значение критерия:

=  = 6,71

 

 Задавая уровень значимости  находим по таблицам Фишера со степенями свободы k₁=1 и k₂ = 24 – 2 ==22 критическую точку  и получим = 4,30.

Поскольку , то выборочное уравнение регрессии значимо.

 

Задание 2.

 Построить для двумерной выборки XY , используемой в Задании 1, функцию линейной регрессии с помощью инструмента Регрессия Пакета анализа табличного процессора EXCEL и построить график линейной регрессии на корреляционном поле.

Решение. Рассмотрим решение данной задачи средствами табличного процессора Excel. Для построения функции регрессии надо ввести в ячейки электронной страницы Excel исходные данные и применить инструмент Регрессия Пакета анализа.( см. рис7.1. и рис.7.2 ) 

 

 

Рис.7.1

                                                    

 

 

                                                                                  Рис .7.2

 

Получаем итоги расчетов, которые изображены на рис.7.3:

ВЫВОД ИТОГОВ:

 

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 323; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая1234567

---

Мы поможем в написании ваших работ!