Лабораторно-практическая работа №3

ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Цель работы: формирование умений и навыков проверки параметрических гипотез.

Краткие теоретические сведения.

Статистическая гипотеза–утверждение о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Гипотеза, подлежащая проверке, называется нулевой или основной (H₀). Конкурирующей (альтернативной)называют гипотезу H₁, которая противоречит нулевой.

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину K , которая называется статистическим критерием.

Критической областью, называется совокупность значений критерия, при котором нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотез,называют совокупность значений критерия, при котором гипотезу принимают.

Критическими точками(х_кр), называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотез.

Наблюдаемые значения критерия(К_набл.) – называются значения критерия вычисленные по выборке.

Основной принцип проверки гипотез формулируется так:

Если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то ее принимают (нет оснований отвергнуть гипотезу).

Схема статистической проверки гипотез.

1. Формулировка нулевой и альтернативной гипотез.

2. Выбор уровня значимости и критерия для проверки Н₀.

3. Нахождение критической точки, критической области и области принятия гипотезы.

4. Вычисление значения критерия по выборке.

5. Принятие решения.

Проверка параметрических гипотез.

Гипотезы о параметрах известных распределений называются параметрическими. Предполагаем, что выборки сделаны из генеральных совокупностей, имеющих нормальное распределение.

1) Проверка гипотезы о среднем значении.

Пусть генеральная средняя а неизвестна, но имеется основание предполагать, что она равна значению , т.е. требуется проверить гипотезу:

Н₀ : а = а₀ при уровне значимости α.

В качестве критерия берем случайную величину

где S – стандартное отклонение, n – объем выборки, - выборочная средняя.

Если гипотеза Н₀верна, то Т имеет распределение Стьюдента с (n – 1) степенями свободы.

1. Если альтернативная гипотеза Н₁: а ≠ а₀ , то строим двустороннюю критическую область. Критическую точку ищем по таблице Стьюдента для двусторонней критической области из условия:



2. Если альтернативная гипотеза Н₁: а > a₀ , то строим правостороннюю критическую область. Критическую точку ищем по таблице Стьюдента для односторонней критической области из условия:

,

3. Если альтернативная гипотеза Н₁: а < a₀ , то строим левостороннюю критическую область. Сначала находим вспомогательную критическую точку из таблицы Стьюдента для односторонней критической области из условия:

, а затем полагаем

2) Проверка гипотезы о дисперсиинормального распределения.

Пусть дисперсия генеральной совокупностинеизвестна, но имеется основание предполагать, что она равна значению , т.е. требуется проверить гипотезу:

Н₀ :        при уровне значимости α.

В качестве критерия используем случайную величину:

Если гипотеза Н₀ верна, то случайная величина имеет - распределение Пирсона с (n–1) степенями свободы, где n – объем выборки.

1. Если альтернативная гипотеза Н₁: , то строим левостороннюю критическую область. Критическую точку ищем по таблице с (n–1) степенями свободы из условия:

2. Если альтернативная гипотеза Н₁: , то строим правостороннюю критическую область. Критическую точку ищем по таблице с (n–1) степенями свободы из условия:

3. Если альтернативная гипотеза Н₁: , то строим двустороннюю критическую область. Критическую точку ищем по таблице с (n–1) степенями свободы из условия:

3). Гипотеза оравенстве двух средних значений.

Пусть заданы две генеральные совокупности с нормальным распределением X и Y, которые имеют средние значения соответственно а₁и а₂, при этом их дисперсии неизвестны, но должны быть равными. Из этих генеральных совокупностей сделаны выборки с параметрами:

для совокупности Х:                               для совокупности Y:

n₁– объем выборки                                  n₂ – объем выборки

   - выборочная средняя                         - выборочная средняя

   - исправленная дисперсия                 - исправленная дисперсия

Для проверки нулевой гипотезы Н₀ : а₁ = а₂ при уровне значимости α используем критерий:

Если нулевая гипотеза Н₀ верна, то она имеет распределение Стьюдента с ( ) степенями свободы.

1. Если альтернативная гипотеза Н₁: а₁≠ а₂ , то строим двустороннюю критическую                 область. Критическую точку ищем по таблице Стьюдента для двусторонней критической области из условия:

,

2. Если альтернативная гипотеза Н₁: а₁> а₂ , то строим правостороннюю критическую область. Критическую точку находим по таблице Стьюдента для односторонней критической области из условия:

,

3. Если альтернативная гипотеза Н₁: а₁< а₂ , то строим левостороннюю критическую область. Сначала находим вспомогательную критическую точку   из таблицы Стьюдента с уровнем значимости α и числом степеней свободы( ) для односторонней области из условия: , а затем полагаем

4) . Гипотеза о равенстве двух дисперсий.

Пусть даны две генеральные совокупности X и Y с нормальными распределениями, причем их дисперсии   неизвестны, но есть основания считать их равными. Из этих совокупностей сделаны независимые выборки с параметрами:

Для совокупности Х:                               Для совокупности Y:

n₁– объем выборки                                  n₂ – объем выборки

   - исправленная дисперсия                 - исправленная дисперсия

Требуется при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу

Н₀ :

Для проверки этой гипотезы в качестве критерия используем случайную величину:

                                    ,

Если гипотеза Н₀ верна, то случайная величина F имеет распределение Фишера с k₁= n₁ – 1 и k₂=n₂ – 1 степенями свободы.

При альтернативной гипотезе Н₁ : строим правостороннюю критическую область. Критическую точку ищем по таблице Фишера с k_1, k₂ степенями свободы из условия:

                                 .

Порядок выполнения работы.

1. Изучить теоретические сведения по теме.

2. Выполнить задания №1 -№5, считая, что заданные преподавателем статистические данные получены из генеральных совокупностей с нормальным распределением.

3. Оформить отчет.

Задание №1.

А) По второму столбцу Y выборки С при уровне значимости проверить гипотезу о среднем значении Н₀: при альтернативной гипотезе Н₁: M, где



Б) Проверить гипотезу, используя Пакет анализа средство Двухвыборочный t- тест с различными дисперсиями.

Задание №2.

А) По второму столбцу Z выборки С при уровне значимости     проверить гипотезу о дисперсии Н₀: при альтернативной гипотезе Н₁: T, где





Б) Проверить гипотезу, используя Статистические функции средство Хи2обр.

Задание №3.

А) По столбцам F1 и F2 выборки D при уровне значимости   проверить гипотезу о равенстве средних значении Н₀: а₁= а₂ при альтернативной гипотезе Н₁: а₁ а₂, если неизвестные дисперсии обеих совокупностей считать равными ( - выборочные средние соответственно выборок F1 иF2).



Б) Проверить гипотезу, используя Пакет анализа средство Двухвыборочный t- тест с одинаковыми дисперсиями.

Задание №4.

А) По столбцам F3 и F4 выборки D при уровне значимости   проверить гипотезу о равенстве дисперсий Н₀: ₁²= ₂ ² при альтернативной гипотезе Н₁: ₁² > ₂² .



Б) Проверить гипотезу, используя Пакет анализа средство Двухвыборочный F- тест для дисперсии.

Задание №5.

А) По первым двум столбцам Х выборки С при уровне значимости   проверить сначала гипотезу о равенстве дисперсий и, если она принимается, то затем гипотезу о равенстве средних значений.



Б) Проверить гипотезу с помощью Пакета анализа, используя сначала средство Двухвыборочный F- тест для дисперсии, а затем средство Двухвыборочный t- тест с одинаковыми дисперсиями.

Решение типовых заданий.

Задание №1.А) По второму столбцу Y выборки С при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о среднем значении Н₀: при альтернативной гипотезе Н₁: > M, где М= {целая часть ( -4)}.

Решение: Имеем исходные данные Y: 605,632,554,594,612,556,679,629,582,611,626,703,650,655,577,657,613,557,619.

Рассчитаем числовые характеристики выборки и получим 616,37, S=41,29.

Пусть М = { -4} = {616,37 – 4}= {612,37} = 612, тогда нулевая и альтернативная гипотезы имеют вид:

Н₀:

Н₁:

Для проверки этой гипотезы в качестве критерия берем случайную величину:



Т.к. Н₁: а > a₀ , то строим правостороннюю критическую область. Критическую точку находим из таблицы распределения Стьюдента для односторонней области с n -1 = 19-1= 18 степенями свободы и уровнем значимости =0,05. Имеем x_кр=1,73.

Тогда получаем, что при - критическая область, а при - область принятия гипотезы.

Найдем наблюдаемое значение Т_набл по соответствующей формуле:

= =0,46

Следовательно, наблюдаемое значение Т_набл находится в области принятия гипотезы, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Б). Проверить гипотезу о среднем значении:   при уровне значимости =0,1, используя Пакет анализа средство Двухвыборочный t- тест с различными дисперсиями. Исходные данные приведены на рис.3.3.

Для проверки гипотезы используем Пакет анализа средство Двухвыборочный t- тест с различными дисперсиями (рис.3.1., 3.2., 3.3.)

    Рис.3.1.



     Рис.3.2.                                                                                                        Рис.3.3.

Получаем вывод итогов, которые даны в таблице 3.1.:



                                                                                                                 Таблица 3.1.

По виду альтернативной гипотезы строим левостороннюю критическую область и критическая точка ( t критическое одностороннее) x_кр = -1,31946024 , поэтому -критическая область.   = -0,69180176 ( t – статистка) принадлежит области принятия гипотезу,значит, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

  Задание №2.

По второму столбцу Z выборки С при уровне значимости =0,02 проверить гипотезу о дисперсии Н₀: при альтернативной гипотезе Н₁: T, где Т= {целая часть( S² -1)}.

Исходные данные Z: 66,68,66,60,58,60,76,61,59,56,61,69,70,68,54,70,71,54,61.

Рассчитаем числовые характеристики выборки и получим S²= 39,48.

Пусть Т ={S²-1} = {39,48 – 1}= {38,48} = 38, тогда нулевая и альтернативная гипотезы будут выглядеть так:

Н₀:

Н₁: 38

Для проверки этой гипотезы в качестве критерия берем случайную величину:

          .

Т.к. Н₁: , то строим двустороннюю критическую область. Критическую точку находим из таблицы -распределения с n -1 = 19-1=18 степенями свободы и уровнем значимости ( ) = 1- 0,01=0,99. Имеем .

Тогда получаем, что при - критическая область, - область принятия гипотезы.

Вычисляем наблюдаемое значение по соответствующей формуле:

= = 18,70.

Так как наблюдаемое значение находится в критической области, то нулевую гипотезу о дисперсии нормального распределения отвергаем.

Примечание: При проверке гипотезы о значении дисперсии для нахождении критической точки можно использовать Статистические функции средство Хи2обр (рис3.4, 3.5.).

               Рис.3.4.

                   Рис.3.5.

Задание №3.

А) По столбцам F3 и F4 выборки D при уровне значимости =0,1 проверить гипотезу о равенстве средних значении Н₀: а₁= а₂ при альтернативной гипотезе Н₁: а₁ < а₂, если неизвестные дисперсии обеих совокупностей считать равными.

Исходные данные:

      F3                                                          F4

114,105,103,122,118,113,107.                  120,113,109,111,102,116,113.

Рассчитаем числовые характеристики выборок и получим

   для выборки F3: , , n₁=7,

   для выборки F4: , , n₂=7.

Тогда нулевая и альтернативная гипотезы будут выглядеть так:

Н₀: а₁= а₂

Н₁: а₁ < а₂

Для проверки нулевой гипотезы Н₀ : а₁ = а₂ при уровне значимости α используем критерий:

Так как альтернативная гипотеза имеет вид Н₁: а₁< а₂ , то строим левостороннюю критическую область. Сначала находим вспомогательную критическую точку из таблицы распределения Стьюдента для односторонней области с = 7 + 7- 2= 12 степенями свободы и уровнем значимости =0,1. Получим = 1,36, значит



Тогда получаем, что T < -1,36 - критическая область, а при T > -1,36 область принятия гипотезы.

Найдем наблюдаемое значение Т_набл по соответствующей формуле:

Следовательно, так как наблюдаемое значение Т_набл находится в области принятия гипотезы, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Б) Проверить гипотезу о равенстве средних значении Н₀: а₁= а₂ при альтернативной гипотезе Н₁: а₁ а₂ и уровне значимости =0,001 , используя Пакет анализа средство Двухвыборочный t- тест с одинаковыми дисперсиями . Исходные данные приведены на рис.3.8.

                  Рис.3.8.

                              Рис.3.6.

                              Рис.3.7.

Получаем вывод итогов, которые приведены в таблице 3.2.



                                                                                                             Таблица 3.2.

По виду альтернативной гипотезы строим двухстороннюю критическую область и

из таблицы 3.2. видно, что x _кр= 4,586893858 (t критическое двустороннее) и -критическая область. Наблюдаемое значение Т_набл = -0,467767581 ( t –статистика) находится в области принятия гипотезы, значит нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Задание №4.

А) По столбцам F3 и F4 выборки D при уровне значимости = 0,01 проверить гипотезу о равенстве дисперсий Н₀: ₁²= ₂ ² при альтернативной гипотезе Н₁: ₁² > ₂² .

Исходные данные:

      F3                                                           F4

114,105,103,122,118,113,107.                  120,113,109,111,102,116,113.

Рассчитаем числовые характеристики выборок и получим

   для выборки F3: , n₁=7,

   для выборки F4: , n₂=7.

Тогда нулевая и альтернативная гипотезы будут выглядеть так:

     Н₀: ₁²= ₂ ²

     Н₁: ₁² > ₂² .

Для проверки нулевой гипотезы при уровне значимости α используем критерий:

                                    , т.к.

Если гипотеза Н₀ верна, то случайная величина F имеет распределение Фишера с k₁= 7 – 1 = 6 и k₂= 7 – 1= 6 степенями свободы.

При альтернативной гипотезе Н₁ : строим правостороннюю критическую область. Критическую точку ищем по таблице Фишера с k₁= 6_, k₂ =6 степенями свободы и уровнем значимости = 0,01: . Получим .

Тогда получаем, что при F > 8,47 - критическая область, а при F < 8,47 - область принятия гипотезы.

Найдем наблюдаемое значение F_набл по соответствующей формуле:

= = 1,54

Так как наблюдаемое значение F_набл находится в области принятия гипотезы, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Б) По столбцам F3 и F4 (см. рис 3.10.) при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о равенстве дисперсий Н₀: ₁²= ₂ ² при альтернативной гипотезе Н₁: ₁²> ₂² .

Проверим гипотезу, используя Пакет анализа средство Двухвыборочный F- тест для дисперсии (см. рис.3.9.,3.10.).

                              Рис.3.9.                                                     Рис.3.10.

                                  Рис.3.11.

Получаем вывод итогов, которые приведены в таблице 3.3 .

                                                                                                     Таблица 3.3.

По виду альтернативной гипотезы строим правостороннюю критическую область. Из таблицы 3.3. видно, что критическая точка x_кр = 5,050329058 (F критическое одностороннее) и F > 5.05 критическая область, а наблюдаемое значение критерия F =1.130909091. Так как F принадлежит области принятия решений, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Задание № 5.

А) По первым двум столбцам Х выборки С при уровне значимости = 0,01 проверить сначала гипотезу о равенстве дисперсий и, если она принимается, то затем гипотезу о равенстве средних значений.

Исходные данные:

Х1: 29,30,28,31,32,28,28,30,29,29,29,30,29,30,29,30,30,28,29,31,29,30,29,29.

X2: 30,30,29,32,30,30,29,30,31,29,29,29,30,29,28,29,29,27,28,27, 32,29,31,33.

Рассчитаем числовые характеристики выборок и получим:

1) Сначала проверяем гипотезу о равенстве дисперсий.

Для проверки этой гипотезы в качестве критерия берем случайную величину:



Если верна гипотеза , то имеет распределение Фишера с степенями свободы. Поскольку альтернативная гипотеза имеет вид , то строим правостороннюю критическую область.

Критическую точку ищем по таблице Фишера при =0,01 с степенями свободы из условия . Получим .

При -критическая область

Вычисляем наблюдаемое значение критерия

принадлежит области принятия решений , следовательно нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

2) Проверяем гипотезу о равенстве средних значений:

Для проверки этой гипотезы в качестве критерия берем:

При альтернативной гипотезе строим двухстороннюю критическую область.

Критическую точку ищем по таблице Стьюдента для двухсторонней области с уровнем значимости =0,01 и числом степеней свободы . Получим, что . Следовательно при -критическая область.

принадлежит области принятия решений, значит нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Примечание: Чтобы проверить гипотезу, рассматриваемую в задании №5, с помощью Пакета анализа, необходимо сначала применить средство Двухвыборочный F- тест для дисперсии, а затем средство Двухвыборочный t- тест с одинаковыми дисперсиями.

Содержание отчета.

Отчёт о полученных результатах должен содержать:

ü Тему и цель лабораторной работы;

ü формулировку задания с указанием варианта;

ü решения заданий;

ü результаты вычислений, произведенные в табличном процессоре Excel;

ü выводы.

Контрольные вопросы.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 297; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!