Лабораторно-практическая работа №4

Проверка непараметрических гипотез.

Цель работы: формирование умений и навыков проверки статистических гипотез о виде распределения; применение критерия согласия Пирсона для проверки гипотезы о законе распределения.

Краткие теоретические сведения.

Гипотезы о виде распределения называются непараметрическими.

Пусть генеральная совокупность Х имеет какое-то неизвестное распределение. Из генеральной совокупности получена выборка. На основании выборки, построив полигон или гистограмму, или учитывая какие-то другие соображения, составим гипотезу о конкретном распределении генеральной совокупности.

Пусть генеральная совокупность имеет функцию распределения .

Тогда нулевая гипотеза имеет вид:

=F_теор(х), а альтернативная F_теор(х).

По выборке мы можем найти эмпирическую функцию распределения . Гипотезу Н₀ о распределение генеральной совокупности принимают тогда, когда эмпирическое распределение хорошо согласовывается с теоретическим. Критерий, с помощью которого проверяется гипотеза , называется критерием согласия. Существуют критерии согласия Пирсона, Колмогорова и др.

Рассмотрим критерий согласия (Пирсона).

Пусть данные выборки представлены в виде статистического ряда:

По выборке вычисляем оценки параметров теоретического распределения. Затем по теоретическому распределению вычисляем вероятности , равные тому, что случайная величина X принимает значение x_i, т. е. , а затем находим теоретические частоты: , где n-объем выборки.

Гипотеза Н₀ верна, если теоретические и эмпирические частоты m_i и n_i достаточно мало отличаются друг от друга.

Для проверки гипотезы Н₀ качестве критерия берем случайную величину

Если верна нулевая гипотеза, то эта статистика имеет распределение с числом степеней свободы df = k – r – 1 где к- число групп (интервалов) , - число параметров, вычисленных по выборке (для распределения Пуассона =1, для нормального распределения =2).

В данной задаче строим правостороннюю критическую область, а критическую точку находим из условия: по таблицам - распределения, где - уровень значимости.

Вычисляем по выборке наблюдаемое значение . Если гипотезу отвергаем, если , то нет оснований отвергнуть гипотезу.

Замечание: Малочисленные частоты (n_i <5) следует объединить; в этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле df = k – r – 1 следует в качестве k принять число групп выборки, оставшихся после объединениячастот.

1. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона.

Пусть задано эмпирическое распределение дискретной случайной величины Х. Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона .

Для того чтобы при уровне значимости проверить гипотезу надо:

1).Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю .

2).Принять в качестве оценки параметра λ распределения Пуассона выборочную среднюю .

3). Найти по формуле Пуассона (см. Приложение 1) вероятности появления ровно i событий в n испытаниях ( i = 0,1,…,k, где k - максимальное число наблюдавшихся событий, n – объем выборки). Вероятности можно найти с помощью функции ПУАССОН ( x; среднее; интегральная) табличного процессора Excel.

4). Найти теоретические частоты по формуле .

5). Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона , приняв число степеней свободы равным , где - число оставшихся групп после объединения частот, если это требовалось.Критическую точку находим по таблице при уровне значимости с числом степеней свободы . Если гипотезу отвергаем, если нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении случайной величины по закону Пуассона.

2. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона.

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант (берем середину интервала в случае интервального вариационного ряда) и соответствующих им частот:

                         , - середины интервалов.

Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:

1) Вычислить по выборке выборочную среднюю и стандартное отклонение .

2) Вычислить теоретические частоты по формуле

                                     ,

где - шаг (разность между вариантами), - объем выборки,



3)   Вычислить

4) Найти критическую точку по таблице при уровне значимости с числом степеней свободы , где -число групп.

5) Если гипотезу отвергаем, если гипотезу принимаем.

Порядок выполнения работы.

1. Изучить теоретические сведения по теме.

2. Выполнить задания № 1- №2, используя заданные преподавателем статистические данные.

3. Оформить отчет.

Задание №1.

А)  По выборке А при уровне значимости   проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности и выполнить вычисления с помощью калькулятора и вспомогательной таблицы.

Б)   По выборке А при уровне значимости   проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности, используя Статистические функции: хи2обр, Пуассон табличного процессора Excel.

Имеем:

Задание №2.

По выборке В при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности и выполнить вычисления с помощью электронных таблиц Excel, используя Статистические функции: хи2обр, нормализация, нормрасп.

Имеем:

Решения типовых заданий:

Исходные данные:

Выборка А:

2 2 1 2 3 1 1 0 2 2 4 3 3 0 3 0 3 2 3 1 2

2 3 0 2 3 0 2 3 3 4 4 1 4 0 0 1 2 4 4 3

0 0 0 2 2 3 2 1 0 0 0 3 1 0 1 2 1 2 2 4

3 0 0 1 0 3 0 0 3 1 3 4 2 3 3 2 0 4

4

   Выборка В

107 78 93 81 80 92 126 93 67 50 104 110

120 91 101 91 120 88 69 74 102 65 48 71

103 67 95 112 112 86 99 99 103 122 112 102

92 69 105 106 124 46 72 75 126 73 106 75

80 92 68 112 127 88 93 74 131 51 117 145

96 76 71 138 104 120 67 92 130 99 94 92

97 105 84 78 100 98 114 113 94 108 76 88

91 78 96 81 116 75 120 75 62 113 109 111

127 63 87 86 66 100 75 84 95 121 103 95

70 98 67 148 95 92 105 114 98 102 41 76

114 90 97 111 93 110 79 63 109 69 108 71

111 100 136 92 84 123 84 125 102 96 72 102

90 136 87 132 137 100 102 88 65 75 114 79

122 63 115 90 78 86 122 119 87 115 96 137

106 105 88 75 100 84 71 123 121 94 114 94

93 118 94 102 109 86 45 97 93 43 48 114

85 79 124 89 104 108 108 100 106 102 105 119

71 86 115 82 101



Задание №1.  По выборке А при уровне значимости = 0,02 проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности и выполнить вычисления с помощью калькулятора и таблиц.

  1. По данным выборки строим вариационный ряд (таблица 4.3) и найдем по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю :



                                                               Таблица 4.3.

Варианты 0 1 2 3 4

Частоты 20 12 19 19 9

= = =1,81

2. Примем в качестве оценки параметра λ распределения Пуассона выборочную

среднюю

3. Положив i = 0, 1, 2, 3, 4, найдем по формуле Пуассона ( см. Приложение 2) вероятности появления ровно i событий в 79 испытаниях при l=2:

0,1353

0,2707

0,2707

0,1804

0,0902

   4. Найдем теоретические частоты по формуле исоставим следующую расчетную таблицу 4.1:

                                                                                                              Таблица 4.1.

0 20 0,1353 10,69 9,31 86,6761 8,1081

1 12 0,2707 21,39 -9,39 88,1721 4,1221

2 19 0,2707 21,39 -2,39 5,7121 0,267

3 19 0,1804 14,25 4,75 22,5625 1,5833

4 9 0,0902 7,13 1,87 3,4969 0,4904

14,5709

Из расчетной таблицы находим наблюдаемое значение = 14,5709. Критическую точку находим по таблице (см. Приложение 1) по уровню значимости =0,02 и числу степеней свободы df = 5-2=3 , получим = 9,837.

Так как > - отвергаем гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона.

Примечание: Для того, чтобы по выборке А при уровне значимости проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности, надо запрограммировать таблицу в Excel, используя Мастер функций, категория Статистические.

Вероятности находятся с помощью функции (см. рис 4.1 .)

Рис 4.1.

Для нахождения критической точки используется статистическая функция ( см. рис.4.2.)

Рис 4.2.

Задание №2. По выборке В при уровне значимости = проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности и выполнить вычисления с помощью таблиц Excel, используя Статистические функции: хи2обр, нормализация, нормрасп.

По данным выборки В построим интервальный вариационный ряд с шагом и данные занесем в таблицу 4.2:

Таблица 4.2

интервалы	[41,53)	[53,65)	[65,77)	[77,89)	[89,101)	[101,113)	[113,125)	[125,137)	[137,148)
Частоты	8	4	32	31	48	42	29	10	5

Рассчитаем числовые характеристики выборки и получим: 96, S » 21, .

Запрограммируем таблицу 4.3. в Excel, используя формулы и Статистические функции, в которой:

1) находим с помощью функции Нормализация, где в качестве варианты берем середину частичного интервала: (см. рис 4.3.).

Рис. 4.3.

2)Для нахождения используем функцию

(см. рис.4.4.).

Рис. 4.4.

Полученные значения заносим в таблицу 4.4., объединяя малочисленные частоты двух первых интервалов:

Таблица 4.4.

Для нахождения критической точки используем статистическую функцию

., положив =0,1 и число степеней свободы df= 8-3=5.

Получаем значение =9,2364. Так как < (7,3667 < 9.2364), следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Содержание отчета.

Отчёт о полученных результатах должен содержать:

ü Тему и цель лабораторной работы;

ü формулировку задания с указанием варианта;

ü решения заданий, в которых результаты вычислений должны быть оформлены в виде таблицы;

ü результаты вычислений, произведенные в табличном процессоре Excel;

ü выводы.

Контрольные вопросы.

Какие гипотезы называются непараметрическими?
Как строится эмпирическая функция распределения?
Что такое критерий согласия и какие критерии согласия вам известны?
Какие статистические функции табличного процессора Excel используются для проверки гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона с помощью критерия Пирсона?
Какие статистические функции табличного процессора Excel используются для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона?

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 1289; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!

107	78	93	81	80	92	126	93	67	50	104	110
120	91	101	91	120	88	69	74	102	65	48	71
103	67	95	112	112	86	99	99	103	122	112	102
92	69	105	106	124	46	72	75	126	73	106	75
80	92	68	112	127	88	93	74	131	51	117	145
96	76	71	138	104	120	67	92	130	99	94	92
97	105	84	78	100	98	114	113	94	108	76	88
91	78	96	81	116	75	120	75	62	113	109	111
127	63	87	86	66	100	75	84	95	121	103	95
70	98	67	148	95	92	105	114	98	102	41	76
114	90	97	111	93	110	79	63	109	69	108	71
111	100	136	92	84	123	84	125	102	96	72	102
90	136	87	132	137	100	102	88	65	75	114	79
122	63	115	90	78	86	122	119	87	115	96	137
106	105	88	75	100	84	71	123	121	94	114	94
93	118	94	102	109	86	45	97	93	43	48	114
85	79	124	89	104	108	108	100	106	102	105	119
71	86	115	82	101


0	20	0,1353	10,69	9,31	86,6761	8,1081
1	12	0,2707	21,39	-9,39	88,1721	4,1221
2	19	0,2707	21,39	-2,39	5,7121	0,267
3	19	0,1804	14,25	4,75	22,5625	1,5833
4	9	0,0902	7,13	1,87	3,4969	0,4904
						14,5709

107	78	93	81	80	92	126	93	67	50	104	110
120	91	101	91	120	88	69	74	102	65	48	71
103	67	95	112	112	86	99	99	103	122	112	102
92	69	105	106	124	46	72	75	126	73	106	75
80	92	68	112	127	88	93	74	131	51	117	145
96	76	71	138	104	120	67	92	130	99	94	92
97	105	84	78	100	98	114	113	94	108	76	88
91	78	96	81	116	75	120	75	62	113	109	111
127	63	87	86	66	100	75	84	95	121	103	95
70	98	67	148	95	92	105	114	98	102	41	76
114	90	97	111	93	110	79	63	109	69	108	71
111	100	136	92	84	123	84	125	102	96	72	102
90	136	87	132	137	100	102	88	65	75	114	79
122	63	115	90	78	86	122	119	87	115	96	137
106	105	88	75	100	84	71	123	121	94	114	94
93	118	94	102	109	86	45	97	93	43	48	114
85	79	124	89	104	108	108	100	106	102	105	119
71	86	115	82	101

107	78	93	81	80	92	126	93	67	50	104	110
120	91	101	91	120	88	69	74	102	65	48	71
103	67	95	112	112	86	99	99	103	122	112	102
92	69	105	106	124	46	72	75	126	73	106	75
80	92	68	112	127	88	93	74	131	51	117	145
96	76	71	138	104	120	67	92	130	99	94	92
97	105	84	78	100	98	114	113	94	108	76	88
91	78	96	81	116	75	120	75	62	113	109	111
127	63	87	86	66	100	75	84	95	121	103	95
70	98	67	148	95	92	105	114	98	102	41	76
114	90	97	111	93	110	79	63	109	69	108	71
111	100	136	92	84	123	84	125	102	96	72	102
90	136	87	132	137	100	102	88	65	75	114	79
122	63	115	90	78	86	122	119	87	115	96	137
106	105	88	75	100	84	71	123	121	94	114	94
93	118	94	102	109	86	45	97	93	43	48	114
85	79	124	89	104	108	108	100	106	102	105	119
71	86	115	82	101