Теорема 3. Минимальное расширение булева кольца является булевым кольцом
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть β - минимальное расширение булева кольца . Достаточно показать, что β - дистрибутивная решетка с нулями 0 и единицами и для каждого сечения существует такое сечение , что
1) ,
2) (15) (смотреть теорему из §10, глава I )
Очевидно, что нулем в β является сечение , а единицей – сечение .
Сечение , определенное в (14), удовлетворяет условиям (15). Действительно, нижний класс сечения есть (смотреть (13)).
Единственный элемент этого множества - , поскольку .
Это доказывает первое из равенств (15), второе доказывается аналогично.
Осталось доказать закон дистрибутивности.
Т.к. для каждой решетки, достаточно показать, что если и - три сечения в , то .
Используя (12) и (13), сводим это неравенство к виду или, согласно (11) и определению множеств и :
(16)
Предположим теперь, что элементы и удовлетворяют посылке импликации (16). Тогда для любого , откуда .
В силу произвольности элемент принадлежит . Аналогично . Т.к. удовлетворяет посылке импликации (16), то и . Это доказывает импликацию (16), а вместе с ней теорему 3.
Теория представления дистрибутивных решеток.
Основное понятие в этой теории – понятии идеала.
Определение. Идеалом дистрибутивной решетки называется такое непустое множество , что
(1),
(2) (смотреть (II) §5, глава I )
За последнее время многие авторы вместо идеала используют понятие фильтра, т.е. подмножества множества , удовлетворяющего условиям, двойственным условиям (1), (2):
|
|
(1'),
(2').
Все приведенные ниже теоремы об идеалах можно превратить в теоремы о фильтрах простой заменой символов на &, на .
Понятие фильтра двойственно к понятию идеала, поэтому достаточно рассматривать какое-либо одно из них (смотреть Р. Сикорский «Булевы алгебры», страница 25).
Идеал называется простым, если и для :
(3).
Пример 1. Пусть А - решетка множеств (например, всех подмножеств произвольного множества ) и - произвольный элемент суммы S(А). Семейство множеств А, не содержащих элемент , образует простой идеал вА.
Если - произвольные, не совпадающие элементы суммы S(А), то семейство тех А, которые не содержат ни одного из элементов , также является идеалом, но, вообще говоря, не простым.
Пример 2. Семейство всех конечных множеств А является идеалом вА.
Пример 3. Если А - семейство всех подмножеств множества вещественных чисел, то семейство множеств Лебедевой меры образует идеал вА.
В произвольной решетке множество есть идеал, который называется главным идеалом, порожденным элементом .
Мы будем пользоваться следующими общими свойствами идеалов:
(4).
|
|
Действительно, ,
.
Если , то и , в силу (2)
(5).
Действительно, .
(6) Множество таких элементов , что для некоторого , является идеалом и , .
В самом деле, если и , то , откуда , поскольку . Если и , то . Таким образом, - идеал. Включение и очевидны.
(7) Пусть идеалы для образуют такое монотонное семейство идеалов, что , для каждого . Тогда сумма является идеалом и , . (лекция “Топология I”, страница 33).
Действительно, если и , то оба элемента принадлежат либо , либо . В каждом из этих случаев .
Если и , то , а поэтому . Таким образом, - идеал и, очевидно, и .
Если , то существует такой идеал , что , .( - отрицание. , ) (8).
Действительно, таким идеалом будет множество .
Пусть и - семейство всех идеалов, содержащих и не содержащих .
Если решетка дистрибутивна и , то каждый максимальный элемент семейства является простым идеалом.
В самом деле, возьмем . Если , то - собственное подмножество идеала , а тогда не принадлежит семейству . Т.к. , то и , откуда для некоторого . Аналогично, если , то для некоторого . В силу дистрибутивности решетки .
( I)
Элементы , и принадлежат в силу (5), а элемент мы взяли из . Поэтому правая часть в принадлежит , откуда согласно (2), вопреки условию .
|
|
Таким образом, предположение, что ни , ни не принадлежит , ведет к противоречию. Т.к. , то . Следовательно, - простой идеал.
В главе (VII) из (7) и (8) мы получили (с помощью аксиомы выбора) следующий результат: семейство имеет максимальный элемент, т.е. существует идеал , который не является собственным подмножеством никакого идеала из .
Итак, мы ввели понятия дистрибутивной решетки, булева кольца, решетки множеств, тела множеств. Привели схему, показывающую взаимосвязь между этими понятиями:
Докажем, что каждая дистрибутивная решетка изоморфна решетке множеств, а каждое булево кольцо с 1 – телу множеств.
°Tеорема 1. Для каждой дистрибутивной решетки существует изоморфная ей решетка множеств.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - дистрибутивная решетка. Элементу ставим в соответствие семейство простых идеалов, для которых .
Это соответствие взаимно однозначно. Действительно, если , то либо , либо . Тогда, согласно (9) и (10) , существует такой простой идеал , что либо , либо , т.е. такой, что либо , , либо , .
В первом случае , , во втором случае , . В обоих случаях .
Из (1) и (4) получаем
а из (3) и (5)
|
|
Следовательно, , .
Эти равенства доказывают, что класс, составленный из всех семейств , является решеткой множеств, изоморфной решетке .
°Теорема 2. Для каждого булево кольца существует изоморфное тело множеств.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если решетка из теоремы 1 представляет собой булево кольцо, то в ней существует нулевой элемент , единичный , и для каждого такой элемент , что и . При соответствии элементу о соответствует пустое множество, а элементу - все кольцо . Т.к. и , то . Таким образом, множество всех семейство - не только решетка множеств, но и тело множеств.
Приведем для теоремы 2 еще топологическую интерпретацию. Пусть - булево кольцо с нулевым элементом и единичным , и пусть - множество всех простых идеалов кольца . Каждое из семейств назовем окрестностью каждого своего элемента.
Для любого множества будем считать, что , если каждая окрестность идеала содержит элемент из .
°Теорема 3. I. - компактное топологическое пространство.
II. Множества одновременно открыты и замкнуты в .
III. Каждое открытое и замкнутое множество в совпадает с одним из множеств .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверку аксиом топологии выполнить самостоятельно.
Для того, чтобы доказать, что пространство компактно, рассмотрим центрированное семейство замкнутых множеств.
Покажем, что .
Обозначим через семейство всех конечных произведений вида , где - произвольное натуральное число, и . Таким образом, семейство - семейство непустых замкнутых множеств. Положим .
Очевидно, что . Если , то для некоторых , поэтому . Т.к. и , то . Следовательно, - идеал.
Покажем, что . В противном случае для некоторого множества было бы
, откуда , т.е. , вопреки центрированности семейства .
Таким образом, в силу (10) существует простой идеал . Значит, он принадлежит . Покажем, что .
Пусть - произвольное множество, принадлежащее , и пусть - окрестность идеала и тем более . По определению идеала тогда для каждого ; в частности, . Следовательно, каждая окрестность идеала имеет непустое пересечение с , и поэтому , откуда , и утверждение I. Теорема 3 доказано.
II-е утверждение справедливо, поскольку семейство открыто в (как окрестность), а его дополнение открыто, т.к. оно равно , т.е. также окрестность.
Чтобы доказать III-е утверждение, предположим, что множество открыто и замкнуто в пространстве , и пусть . Т.к. каждый элемент открытого множества имеет по крайней мере одну окрестность , содержащуюся в , то и поэтому . Следовательно, семейство, составленное из множества и из множеств , где , имеет пустое пересечение. Поскольку оно состоит из всех замкнутых множеств, оно не центрировано, т.е. существует такое конечное подмножество семейства , что . Тогда , т.е. имеет вид , что и требовалось доказать.
Построенное в теореме 3 пространство называется пространством Стоуна кольца A.
Из теоремы 3 вытекает
°Следствие 4. Каждое булево кольцо с единицей изоморфно телу открыто-замкнутых множеств компактного пространства.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 318; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!