Теорема 11. Полное дистрибутивное булево кольцо атомарно
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что - полное, дистрибутивное, но не атомарное кольцо, и пусть - тот его элемент, который не содержит ни единого атома. Пусть для и для . Т.к. , то, согласно предположению, верно равенство (1), где , а определяется формулой (2) для . Из определения множества следует, что откуда .
В силу (1) существует такое множество , что .
Положим (6).
Поскольку не содержит никакого атома, не будет атомом, т.е. существует такой элемент , что
и (7).
Согласно определению класса (2) , т.е. или , или , откуда следует (согласно (6) ), что или , или . В первом случае получаем ( учитывая, что ) , во втором случае . Таким образом, или , или вопреки (7).
Полученное противоречие доказывает теорему.
Пример. Булево кольцо плоских регулярно замкнутых множеств полно, но не дистрибутивно. Действительно, В главе I мы показали, что является булевым кольцом с операциями ⊙, ’ и что в каждом отличном от нуля элементе этого кольца содержится непустой и отличный от него элемент. Таким образом, кольцо не атомарно. Из примеров 3, 4 (§ 1, глава IV) следует, что кольцо полно, а тогда в силу теоремы 11 оно и дистрибутивно.
Этот пример интересен тем, что он показывает, что все законы алгебры множеств переносятся на булевы кольца даже в случае полных колец.
Расширение упорядоченного множества до полной решетки.
Покажем, что каждое упорядоченное множество можно рассматривать как часть полной решетки (а именно такой, в которой выполняются основные законы алгебры множеств). Рассмотрим аналогичную проблемы для булевых колец. Для этого введем сначала общее понятие вложения одной реляционной системы в другую.
|
|
О п р е д е л е н и е 1. Реляционная система называется подсистемой системы , если и (т.е. ).
О п р е д е л е н и е 2. Система называется расширением системы , если существует подсистема системы , изоморфная .
В последнем случае говорят также, что система погружается в систему и функция, устанавливающая изоморфизм систем и , погружает в .
Теорема 1. Каждое упорядоченное множество можно погрузить в семейство всех подмножеств некоторого множества (упорядоченное отношение включения) и, значит, в некоторое полное атомарное булево кольцо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим . Из транзитивности отношения следует, что . Т.к. , то . Таким образом, , откуда .
Следовательно, функция погружает в семейство множеств , упорядоченное отношением . Это семейство, очевидно, можно расширить до семейства , где .
Расширение, описанное в теореме 1, не сохраняет, вообще говоря, граней, т.е. из равенства (или ) не следует (или ).
|
|
Займемся теперь вопросом, можно ли расширить множество до полной решетки с сохранением граней.
Пусть функция погружает упорядоченную систему в упорядоченную систему .
О п р е д е л е н и е 3. Погружение сохраняет верхние грани, если для каждого множества и каждой функции , для которой существует , существует также и . Аналогично для нижних граней.
Построим теперь расширение упорядоченного множества до полной решетки с сохранением граней.
Пусть - множество, упорядоченное отношением . Для произвольного множества положим
,
.
Из этих определений непосредственно следует, что
(1),
и для любого (2).
Действительно, по определению , поэтому .
Доказательство второго утверждения аналогично.
(3)
Включение следует из (2). Пусть . Тогда и тем более , поскольку . Таким образом, .
Второе равенство доказывается аналогично.
Введем теперь для упорядоченных множеств понятие сечения.
Пара множеств называется сечением упорядоченного множества , если и .
Множество называется нижним классом, а - верхним классом сечения.
Из этого следует, что (4).
В самом деле, каждый элемент множества находится в отношении к каждому элементу множества . Далее, в силу (3) каждая пара вида и каждая пара вида являются сечениями. Любое сечение можно представить в любом из этих видов.
|
|
Наконец, по определению сечения, пара , где является сечением (6).
Введем отношение порядка между сечениями: . Для проверки того, что отношение здесь действительно - отношение порядка, докажем, что (7).
Пусть и . Если , то , а поэтому . Отсюда и, значит, . Аналогично доказывается обратная к (7) импликация.
Обозначим через β - семейство всех сечений.
β - полная решетка (8).
Пусть . Обозначим :
, .
Сечение является наименьшей верхней гранью множества £. Действительно, , следовательно, для каждого .
Если для каждого , то , а поэтому . Отсюда , и тогда .
Аналогично доказывается, что сечение является наибольшей нижней гранью множества £.
(9) Функция погружает в β с сохранением граней.
Доказательство. Из определений следует, что . Возьмем в множестве . Тогда , а поэтому для . Пусть сечение таково, что для . Тогда , а т.к. , то . Значит, для любого , откуда следует, что . Поэтому , откуда и . Таким образом, в множестве β. Для нижней грани доказательство аналогично.
Из (9) следует
|
|
Теорема 2. Каждое упорядоченное множество можно расширить с сохранением граней до полной решетки β.
Построенную выше решетку β назовем минимальным расширением упорядоченного множества .
Займемся более подробно случаем, когда - булево кольцо.
Сначала заметим, что если и - произвольные подмножества упорядоченного множества , то
(10)
Пусть теперь - решетка. Докажем, что если и - верхние классы двух сечений в , то - множество всех элементов вида , где для .
Действительно, и, значит, для . Кроме того, .
Аналогично доказывается, что если и - нижние классы двух сечений в , то - множество всех элементов вида , где для .
Из этих замечаний и равенств (10) получаем, что если - решетка и - два ее сечения, то
,
(11).
Из определения граней в решетке β (смотреть доказательство утверждения 8) следует, что для любого упорядоченного множества и любых двух его сечений :
(12),
(13).
Наконец, пусть - булево кольцо и для произвольного множества . Если - сечение в , то - также сечение в .
Доказательство (14) самостоятельно.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 277; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!