Аналогично для наибольших нижних граней
Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, и для любого .
Поэтому , откуда следует утверждение теоремы.
Неравенство в теореме 6 нельзя заменить равенством даже в случае полных решеток Брауэра.
Вместе с тем вернее
Теорема 7. Если - булево кольцо и существует наименьшая верхняя грань , то для произвольного существует наименьшая верхняя грань и она равна . Аналогично для наибольшей нижней грани.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Т.к. для каждого , то достаточно показать, что если , то . Из условия следует, что , поэтому для произвольного . Отсюда , следовательно, .
Наконец, для булевых колец верна теория де Моргана.
Теорема 8. Если существует наименьшая верхняя грань , то существует грань и она равна . Аналогично для наибольшей нижней грани.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Т.к. , то, по закону контрапозиции, для каждого . Если для каждого , то , а поэтому и , откуда .
Приведенный выше анализ показывает, что все основные теоремы §1 можно обобщить на случаи полных булевых колец. Для неполных колец эти теоремы верны при условии, что все верхние и нижние грани, встречающиеся в условиях теоремы, существуют. Интересно отметить, что, хотя в законе дистрибутивности не содержится знака дополнения (теорема 7), он выполняется только для булевых колец. Еще более интересно складываются обстоятельства для обобщенного закона дистрибутивности (теорема 4, § 1). Мы покажем, что булевы кольца вида являются в принципе единственными булевыми кольцами, для которых этот закон выполняется.
|
|
Сначала дадим два определения.
О п р е д е л е н и е 1. Булево кольцо называется дистрибутивным, если оно полно и для каждого множества , каждой функции и каждого разбиения на сумму непустых множеств
(1)
где (2).
О п р е д е л е н и е 2. Элемент называется атомом булева кольца , если , и . Кольцо называется атомарным, если для каждого элемента существует по крайней мере один такой атом , что .
Теорема 9. Каждое полное и атомарное кольцо изоморфно телу всех подмножеств множества его атомов, а именно существует такое взаимно однозначное отображение множества на , что
(3),
(4)
для любого множества и любой функции .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим , . Эта формула задает функцию, определенную на , значениями которой служат подмножества множества . Очевидно, что .
Функция взаимно однозначна. В самом деле, пусть и - элементы кольца . т.к. кольцо атомарно, то существует такой атом , что . Из неравенств
1) ,
2)
следует, что
1) или 2)
и 3) или 4) .
Из равенств 1), 3) следует, что .
Т.е. , что противоречит определению 2.
|
|
Равенства 2), 4) дают:
, что противоречит определению 2.
Таким образом, или 1) и 4);
или 2) и 3).
В первом случае ( 1) и 4) ) и , во втором случае ( 2) и 3) ) и .
Значит, или ,
или .
Но в обоих этих случаях .
Пусть . Если , то существует такое , что , откуда , а поэтому .
Итак, мы доказали, что прямое включение из (3) справедливо:
(5).
Пусть теперь , т.е. . Если для каждого , то , и, значит : , т.к. . Но это противоречит тому, что . Следовательно, существует такое , что , т.е. , а поэтому .
Итак, обратное включение доказано. Оно вместе с (5) дает равенство (3).
Еще проще доказывается равенство (4) Осталось показать, что каждое множество можно представить в виде для некоторого . Положим , , ( эта - наименьшая верхняя грань существует, т.к. кольцо полно).
Тогда в соответствии с (3) , поскольку - единственный атом, содержащийся в , а значит, .
Теорема 9 доказана полностью.
Теорема 10. Полное атомарное булево кольцо дистрибутивно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 9 , существует функция , изоморфно отображающая на тело подмножеств некоторого множества . По теореме 4 § 1 из формулы (1) настоящего параграфа следует , откуда в силу (3) и (4) . Т.к. функция взаимно однозначна, то отсюда следует (1).
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 277; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!