Приведенные Декартовы произведения
Комбинируя операцию образования декартова произведения с операцией образования классов абстракций, получаем новую операцию, которая нашла применение в матлогике.
Пусть - произвольное множество и - функция, определенная на и принимающая в качестве значений непустые множества. Предположим также, что на произведении определена функция со значениями в и что - бинарное отношение над полем, содержащемся в . Все дальнейшее рассмотрение без труда переносится на случай, когда число функций или отношений больше единицы.
Пусть - идеал в . Определим отношение в формулой
Tеорема 1. Отношение является отношением эквивалентности в .
1) Рефлексивность отношения следует из того, что , 2) симметричность очевидна, a 3) транзитивность следует из того, что произвольных
.
Теорема 2. Декартово произведение функции согласовано с отношением .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимо показать, что если , то .
Пусть . Из определения следует, что .
Поэтому , откуда .
Из теорем 1, 2 и следствий, приведенных в § 5 главе III, вытекает, что существует множество классов абстракций отношения в и что в этом множестве определена операция , индуцированная из с помощью отношения . Определим отношение в формулой , где , - классы абстракций , содержащие соответственно и .
Множество называется декартовым произведением множеств , приведенным по модулю (короче, приведенным mod ). Аналогично функция (отношение ) называется декартовым произведением функция (отношение ), приведенным mod .
|
|
Пусть - произвольная высказывательная функция. Главную проблему в теории приведенных произведений можно сформулировать так:
Зная множества , определить, когда множество , функция и отношение удовлетворяют высказывательной функции .
Для решения этой проблемы рассмотрим более общую высказывательную функцию произвольного числа переменных. Пусть и . (Очевидно, что множество зависит не только от , но и от выбранных элементов , но мы это не отмечаем в индексе при ради простоты обозначения).
Докажем, что справедливы утверждения (I) – (IV).
I. .
Действительно, и поэтому ((II), §5, глава I) , откуда по закону де Моргана получим (I).
II. Если - высказывательная функция вида ( ) , то .
В самом деле, пусть .
Для существует элемент , удовлетворяющий .
Обозначим множество этих элементов через и положим для . Пусть - функция выбора для семейства, состоящего из всех множеств .
Тогда и для всех
(1) ,
откуда . Следовательно, .
Обратно, если , то (1) выполняется для всех . Тогда для этих , откуда . Поэтому и .
Идеал называется простым, если для произвольного либо , либо .
|
|
Пример простого идеала дает семейство . В главе VII (пользуясь аксиомой выбора) мы докажем, что любой идеал можно расширить до простого.
(III). Если идеал простой и - отрицание , то .
Действительно, .
(IV). Если идеал простой, то если, кроме того, обозначит , то . Это утверждение следует из первых трех.
Доказанные утверждения дают следующее решение поставленной выше проблемы.
Назовем высказывательную функцию элементарной, если она получается из высказывательных функций :
a)
b)
c)
С помощью операций исчисления высказываний и кванторов .
°Теорема 3. Если - простой идеал, - элементарная высказывательная функция, - произвольные элементы из , то (2).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если - одна из функций вида a), b), c), то (2) в этом случае верно. Действительно,
в случае a) левая часть (2) эквивалентна ,
в случае b) левая часть (2) эквивалентна ,
в случае c) левая часть (2) эквивалентна .
Правая часть (2) эквивалентна
в случае a)
в случае b)
в случае c)
из определения множеств , функции , отношения и простого идеала следует, что левая и правая части в (2) эквивалентны.
В силу утверждений (I)-(IV), если формула (2) справедлива для высказывательных функций и , то она справедлива для высказывательных функций, получающихся из и с помощью операций исчисления высказываний и кванторов . Таким образом, теорема 3 доказана.
|
|
°Следствие 4. Если высказывательная функция - элементарная, то . Это следует из теоремы 3 , если высказывательная функция не содержит переменных .
°Следствие 5. Если - элементарная высказывательная функция, и для каждого , то .
Это легко получается из предыдущего следствия с учетом того, что если - просто идеал, то .
Рассмотрит примеры, считая простым идеалом в .
Пример 1. Если отношения рефлексивны и транзитивны и удовлетворяют условиям
, , то отношение удовлетворяют этим же условиям.
Пример 2. Если - тело с операцией сложения и операцией умножения , то множества - тело с операциями и , где и - декартовы произведения и соответственно.
Аналогично, если каждое из множеств - упорядоченное тело с операциями и и отношениями порядка , то - упорядоченное тело с операциями и и отношениями порядка .
Эти утверждения получаются из следствия 5, если высказывательные функции « - тело с операциями и » и « - упорядоченное тело с операциями и и отношениями порядка » записать в виде элементарных высказывательных функций и соответственно.
|
|
Эти примеры показывают, что операция образования приведенного декартова позволяет получить из данного семейства моделей для произвольной системы аксиом (которые можно выразить с помощью элементарных высказывательных функций) новые модели для этой же системы. Другие применения приведенных декартовых произведений будут даны в главе IX.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 367; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!