КАТУШКА С МАГНИТОПРОВОДОМ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 15 страница
Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т.е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима обозначают гу и иу и называют установившимися.
Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса обозначают гсв и исв и называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.
Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следующий за коммутацией. Энергия элементов не может измениться скачком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный процесс.
3. Наконец, в общем решении г = гу + гсв, и = иу + исв следует найти постоянные интегрирования.
Постоянные интегрирования определяют из начальных условий, т.е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации. Будем считать коммутационные ключи идеальными, т.е. что коммутация в заданный момент времениtпроисходит мгновенно. При таких коммутациях ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе в начальный момент времени после коммутацииt+такие же, как в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутацииt_.Эти условия получаются из законов коммутации.
|
|
5.3. Законы коммутации
Законы коммутации утверждают, что ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе не могут изменяться скачком.
Докажем сначала закон коммутации для индуктивного элемента. Предположим, что в течение интервала времени от момента txдо моментаt2ток в индуктивном элементе изменяется от значения до значенияiL(t2).При этом средняя мощность изменения энергии магнитного поля индуктивного элемента [см. (2.5)] будет равна
AWM =Lil(t2)-il(tl) At2t2-tx
Если интервал времениAt=t2 — tbBтечение которого происходит изменение тока в индуктивном элементе, стремится к нулю и ^ 4(ti)>то средняя мощность изменения энергии магнитного поля стремится к бесконечности.
Так как цепей бесконечно большой мощности не существует, то изменение тока в индуктивном элементе скачком невозможно. Этот вывод и является законом коммутации для индуктивного элемента, который можно записать в следующем виде:
|
|
iL(t_) = гМ, (5.1)
гдеt — момент времени, в который произошла коммутация в цепи.
Закон коммутации для емкостного элемента легко получить по аналогии с доказанным законом коммутации для индуктивного элемента. Действительно, сравнивая выражения для энергии магнитного поля индуктивного элементаWM=ЬгЦ2 и энергии электрического поля емкостного элементаW3=Сис/2 [см. (2.13)], видим, что относительно токаiLи напряжения ис они аналогичны. Следовательно, анализ энергетических процессов в емкостном элементе приведет к выводу: изменение напряжения ни емкостном элементе скачком невозможно, т. е.
uc(t.) =uc{t+\ (5.2)
гдеt — момент времени, в который произошла коммутация в цепи.
~ ТdiL
Те же законы коммутации следуют из соотношенииuL— Lи
„duc . dt
гс = С-^S так как при изменении скачком токаiLи напряжения
ис получаются бесконечно большие значения напряженияuLи тока iCyчто нарушает выполнение законов Кирхгофа.
|
|
Токи в индуктивных элементахiL(t_)и напряжения на емкостных элементахuc(t_) непосредственно перед коммутацией называются начальными условиями.
Если токи в индуктивных элементах и напряжения на емкостных элементах цепи в момент времени равны нулю, т.е.iL(t_) = 0; uc(t_)= 0, то эти условия называются нулевыми начальными условиями. В противном случае получаются ненулевые начальные условия.
5.4. Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним индуктивным элементом
Рассмотрим несколько примеров переходных процессов, возникающих при коммутации в цепи постоянного тока с одним индуктивным элементом.
Подключение источника постоянной ЭДС к неразветвленной цепи с резистивным и индуктивным элементами. Проанализируем переходный процесс в цепи при замыкании ключаSв момент времениt= 0 (рис. 5.1, а), выполнив последовательно все этапы расчета классическим методом (см. 5.2). В дальнейшем для сокращения решений математические операции отдельных этапов будем совмещать.
(5.3) |
(5.4) |
a |
1. При выбранных положительных направлениях тока г и напряженийuRиuLсоставим систему уравнений, описывающих состояние цепи на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и закона электромагнитной индукции:
|
|
ul + ur— uL= Ldi/dt;uR= Ri.
Исключая из системы уравнений (5.3) переменныеuRиuL,получаем неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса первого порядка
Ldi/dt + Ri= E.
2. Найдем общее решение неоднородного дифференциального уравнения (5.4) как сумму его частного решения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения:
0 t=T |
t=3r |
—%
б
Ldi/dt + Ri =0. (5.5)
Частным решением неоднородного дифференциального уравнения первого порядка (5.4) является постоянный ток (нет изменения тока иdi/dt= 0) после окончания переходного процесса (который теоретически продолжается бесконечно), т.е.
iy= E/R, (5.6)
называемый установившимся током.
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что это частное решение удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравнению (5.4).
Общее решение однородного дифференциального уравнения (5.5) называется свободным током
»с-в = Ле", (5.7)
где р = —R/L — корень характеристического уравнения
Lp+R = 0. (5.8)
Таким образом, с учетом (5.6) и (5.7) общее решение неоднородного дифференциального уравнения (5.4) имеет вид
Е —t
г = гу + гсв = - + Ле L. (5.9)
3. Определим постоянную интегрирования А в общем решении (5.9). Для этого обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента (5.1) в момент времени замыкания ключаt= 0. Так как ток в индуктивном элементе не может измениться скачком, а до коммутации, т.е. в моментt= 0_, он был равен нулю, то
г(0_) = 0 = t(0+) =E/R + А,
откуда
А = -E/R. (5.10)
Подставив это значение постоянной А в (5.9), получим закон нарастания тока в цепи (рис. 5.1, б):
* = |(1-е-(/т), (5.11)
где т =L/Rимеет размерность времени (Гн/Ом или с) и называется постоянной времени цепи. Постоянная времени определяет скорость нарастания тока и равна времени, за которое токiдостиг бы установившегося значенияiy = E/R,если бы скорость его изменения оставалась неизменной и равной начальному значению скорос-
di Е ти — = —.
dt t=Q L
Переходный процесс часто можно считать практически закончившимся через интервал времени Зт с момента коммутации, когда ток достигнет значения г(3т) = 0,95E/R.
Так как зависимость тока от времени найдена (5.11), то нетрудно определить и зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 5.1, б):
А*
-f Следовательно, в L |
uR— Ri = Е( 1 - е"'/т); ub=Ljt =Ее~ь'\ При 0 <t< т скорость изменения тока в цепи можно считать
di
приближенно постоянной и равной —
dt
t=о+
этом интервале времени приближенно напряжение на резистивном элементе равно
t
uR&jEt = j-fEdt,
о
т. е. пропорционально интегралу напряжения источника ЭДС Е. Такую цепь принято называть интегрирующей цепью.
При действии на входе цепи источника изменяющейся ЭДСe(t) может оказаться, что в некоторые интервалы времени переходного процессаuR» uL.Для этих интервалов времени ток в цепи г « е/Д,
Тdi L de ,
а напряжение на индуктивном элементеuL&L—« — — прибли-
dt R dt
женно пропорционально скорости изменения напряжения источника ЭДС е. Имея это в виду, эту же цепь называют дифференцирующей цепью.
Короткое замыкание катушки индуктивности с током. Рассмотрим переходный процесс в цепи катушки индуктивности с током, обладающей кроме индуктивностиLтакже сопротивлением Д, при замыкании ее накоротко ключомS.Подобные условия имеют место в обмотках электрических машин и аппаратов. Для этого представим катушку индуктивности схемой замещения в виде последовательного соединения индуктивного и резистивного элементов (рис. 5.2, а).
Запишем дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа:
ul+ ur=Ldi/dt + Ri= 0. (5.12)
Так как дифференциальное уравнение (5.12) однородное [совпадает с уравнением (5.5)], то его общее решение содержит только свободную составляющую (5.7):
г = гсв = Ае~^т, (5.13)
Рис. 5.2 |
где т =L/R — постоянная времени цепи.
Осталось найти значение постоянной А. Для этого опять обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента (5.1). Так как до замыкания ключа и, следовательно, в момент времениt = 0_ в катушке был постоянный ток, равный E/(r + Д), то
г(0_) = Е/(г + Д) = <(0+) = А.
Подставив значение постоянной А в (5.13), получим ток в катушке индуктивности:
i = _*/т (5.14)
r + R
Ток в катушке индуктивности после коммутации (рис. 5.2, б) поддерживается за счет энергии, накопленной в ее магнитом поле.
Теперь можно определить и зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 5.2, б):
uR= Ri = ;
R r + R
Tdi RE _t/r uT= L— = -e t/T.
L dt r + R
Размыкание цепи с катушкой индуктивности. При размыкании неразветвленной электрической цепи с катушкой индуктивности между размыкающимися контактами возникает дуговой разряд. Такой разряд наблюдается, например, в скользящих контактах электрического транспорта. Чтобы дугового разряда не было, необходимо параллельно участку цепи между контактами включить резистор. На рис. 5.3, а приведена схема замещения электрической цепи, в которой катушка индуктивности представлена последовательным соединением индуктивногоLи резистивного Д элементов, а выключатель представлен в виде параллельного соединения идеального ключа и резистивного элемента г.
Составим дифференциальное уравнение переходного процесса цепи после размыкания ключа:
% + Щ + ur= Ldi/dt + (г + R)i= Е. (5.15)
Это дифференциальное уравнение полностью совпадает (с точностью до обозначений элементов) с уравнением (5.4). Следовательно, его общее решение аналогично (5.9):
i = iy+iCB = -^ + Ae- i (5.16)
J r + R
гдеiy = E/(r + R) — установившаяся составляющая тока, равная постоянному току в цепи после размыкания ключа.
Для определения постоянной А в (5.16) обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента (5.1). До размыкания ключа, т.е. и приt = 0_, в катушке был постоянный токE/R.Поэтому по закону коммутации
г (0_) =E/R = i{0+) - E/{r + R)+ Л,
откуда
А = E/R - E/(r +R) = rE/R(r + R).
Подставив значение постоянной А в (5.16), найдем ток в цепи катушки индуктивности после размыкания ключа (рис. 5.3, б):
^thhr'")- <5Л7>
где т =L/(r + R) — постоянная времени цепи.
Зная ток в цепи, нетрудно определить зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 5.3, б):
б
В первый момент времени после размыкания ключаt = 0+ напряжение на резистивном элементе г скачком возрастает от нуля ггг(0_) = 0 до мг(0+) =Er/R.Поэтому при г »Rмежду контактами ключа появляется значительное напряжение, которое и может вызвать дуговой разряд.
5.5. Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним емкостным элементом
Рассмотрим процессы в цепи при зарядке и разрядке емкостного элемента.
Зарядка емкостного элемента от источника постоянной ЭДС через резистивный элемент. Переходный процесс в цепи на рис. 5.4, а описывается неоднородным дифференциальным уравнением на основе второго закона Кирхгофа, закона ОмаuR— Riи соотношения между током зарядки и напряжением в емкостном элементе
i = C[см. (2.11)], т.е.
at
uii
<uR+uc= Ri + uc= RC—f + uc= E.(5.18)
dt
Общее решение уравнения (5.18) представляет собой сумму двух составляющих:
UC = uCy + uCcn-
E R |
г,и E |
0,95 E |
Зт t |
S |
0 |
т |
|
a |
б
Первая составляющая соответствует установившемуся режиму
г/Су = Д (5.19)
так как зарядка емкостного элемента закончится, когда напряжение ис будет равно напряжению источника ЭДС.
Вторая составляющая соответствует свободному процессу, т. е. решению однородного дифференциального уравнения первого порядка
ЯС^ + ис= О,
и равна
у>ссв = Аер\ (5.20)
где р = —1/RC— корень характеристического уравнения
RCp+1 = 0. Таким образом, общее решение будет иметь вид
= иСу + иСсв = Е+ Ae-«RC. (5.21)
Для определения значения постоянной А в (5.21) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента (5.2). Будем считать, что до замыкания ключа, т. е. в момент времениt — 0_, емкостный элемент не был заряжен. Поэтому
ис( 0_) = 0 = ис( 0+) = Е + А,
откуда А — -Е.
Подставив значение постоянной А в (5.21), найдем напряжение на емкостном элементе во время зарядки (рис. 5.4, б)\
ис = Е( 1 - е"'/т), (5.22)
где т =RCимеет размерность времени (Ом -Ф = Ом -А с/В = с) и называется постоянной времени цепи. Она, как и постоянная времени цепи на рис. 5.1, определяет скорость переходного процесса.
Зависимость от времени напряжения на емкостном элементе [см. (5.22)] определяет зависимости от времени зарядного тока и напряжения на резистивном элементе (рис. 5.4):
= Cduc_ = Е t, = = Ее_,/Т сdt R R
Заметим, что в первый момент после замыкания ключа, т. е. при t = 0+, ток в цепи г(0+) =E/R;емкостный элемент в этот момент времени как бы коротко замкнут (напряжение на нем равно нулю). Поэтому при малом значении сопротивленияRв цепи может наблюдаться значительный скачок тока.
При 0 <t^ т скорость изменения напряжения на емкостном
<=0, RC' |
Е
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 357; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!