КАТУШКА С МАГНИТОПРОВОДОМ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 17 страница
Подставив значение постоянной А в общее решение, найдем зависимость тока от времени:
* = h + »св = 4»iSin(urf + г|;м - ф) - Imsin(a|)tt- ф)е"^т,
где т =L/R —постоянная времени цепи.
Таким образом, во время переходного процесса ток в цепи состоит из синусоидальной составляющей и свободной составляющей, убывающей экспоненциально (рис. 5.11, б). Практически через интервал времени Зт после замыкания ключа свободной составляющей можно пренебречь.
Если момент коммутации(t= 0) выбран так, что начальная фаза напряжения источника я|;и = ф, то свободная составляющая тока равна нулю, т. е. переходного процесса нет и в цепи сразу устанавливается синусоидальный ток.
Если начальная фаза напряжения источника = ф + тт/2, то интенсивность переходного процесса будет наибольшая. В момент времениt« Т/2 = тт/u; максимум тока будет наибольшим и в пределе при т > Т близким к 2Im.
Аналогично рассчитывается переходный процесс при подключении источника синусоидальной ЭДС к цепи с последовательно соединенными резистивным и емкостным элементами и в других случаях. И здесь переходный процесс зависит от начальной фазы напряжения источника: он отсутствует при = ф + тт/2, где ф = = arctg[—l/(wCR)]< 0, и выражен наиболее сильно при г|)м = ф, когда максимальное напряжение на емкостном элементе может почти в 2 раза превысить амплитуду установившегося напряжения. Такое перенапряжение может привести к пробою изоляции в высоковольтных установках.
|
|
5.9. Операторный метод расчета переходных процессов
Операторный метод не обладает физической наглядностью в силу своей глубокой математической формализации, но в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексного переменного р, в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические. Такое преобразование называется прямым. Полученное решение алгебраических уравнений обратным преобразованием переносится в область действительного переменного. Строгое обоснование метода дается в курсе математики. Здесь познакомимся лишь с техникой применения операторного метода.
Для прямого преобразования функций времениf(t)применяется преобразование Лапласа
оо
F(p)=fе-»<f(t)dt, (5.37)
О
что сокращенно записывается так:
F(p) = L[f(t)},
где функция времениf(t)— однозначная, называемая оригиналом, определенная приt> 0, интегрируемая в интервале времени 0 — оо и равная нулю приt < 0; F(p) — функция комплексного переменного р = а +juпри Reр = а > 0, называемая лапласовым изображением.
|
|
Примем, что начало переходного процесса в цепи соответствует моменту времениt = 0.
В табл. 5.1 приведены примеры изображения простых функций. Отметим некоторые свойства преобразования Лапласа, называемые также теоремами.
1. Теорема о сложении или линейность преобразования
Цагт + а2т] - аМАШ + а2Щ(*)]. (5.38)
(5.39) |
-Ир). |
ff№ |
(5.40) |
3. Теорема о дифференцировании h[df(t)/dt] = pF(p) - /(0+). |
2. Теорема об интегрировании
Таблица5.1 Изображения функций по Лапласу
|
4. Теорема запаздывания
L\f(t - Г)] = f(t)} = e~"TF(p). (5.41)
Преобразование (5.37) позволяет получить соотношения между напряжениемu(t) ~ и и токомi(t) = г в операторной форме для резистивного, индуктивного и емкостного элементов.
Изображение напряжения на резистивном элементеuR(t) = Ri(t) по (5.25)
оо
UR(p) = rJe~pti(t)dt = Ri(p). (5.42)
|
|
о
Выражение (5.42) называется законом Ома в операторной форме для резистивного элемента (рис. 5.12, а).
Изображение напряжения uL— L— на индуктивном элементе по (5.38) и (5.40) dt
UL(p) = -ЬЦр) + рЬЦр), (5.43)
где г(0) = г(0_) = г(0+) — ток в индуктивном элементе в момент коммутацииt= 0, учитывающий начальные условия (5.1).
Напряжение на емкостном элементе, начиная с момента времени t= 0 возникновения переходного процесса в общем случае,
Г
uc{t) =%(0) • 1 (t) + i(t)dt,
о
где г/с(0) = ис(0-) = ~~ напряжение на емкостном элементе,
соответствующее начальному условию (5.2).
Учитывая изображение единичной функцииL[l(t)] = 1/р (см. табл.5.1) и соотношения (5.38) и (5.39), найдем изображение напряженияuc(t):
ис(р) = ^ + ±1(р). (5.44)
Выражениям (5.43) и (5.44) соответствуют схемы замещения индуктивного и емкостного элементов в операторной форме на рис. 5.12, бив.
форме для индуктивного элемента UL(p) = рЬЦр); для емкостного элемента ис(р) =j^m |
Если начальные условия нулевые, т. е. ?7 (0 ) = 0 и '%(0_) = 0, то выражения (5.43) и (5.44) примут вид закона Ома в операторной
(5.45а)
(5.456)
i(t) |
»(<) С =^41---- Uc(t) J_ МО) 1(р) рС р =41-0- Uc(t) в |
uL{t) pL -MO) m) б |
гдеpLи 1/(рС) — сопротивления индуктивного и емкостного элементов в операторной форме.
|
|
Воспользовавшись линейностью преобразования Лапласа (5.38)
п
для суммы токов в любом узле цепи — 0> получим первый
к=1
закон Кирхгофа в операторной форме:
= 0, (5.46)
к = 1
гдеIk(p) =L[ik(t)](рис. 5.13, а, б).
Аналогично и второму закону Кирхгофа для любого контура по (2.29)
тп
= о,
к=1
или в другой форме по (2.49)
£«*(<) =
к=1
соответствует его представление в операторной форме
т
J2uk(t) = о, (5.47а)
к=1
Или
п т
= (5.476)
где = Ь[и*(«)] и ад = L[e*(t)]-
При расчете переходного процесса операторным методом полезно выделить несколько логически самостоятельных этапов:
1) представить исходные данные о параметрах всех элементов схемы цепи в операторной форме. Это означает, что, во-первых, ЭДС источников напряжения и токи источников тока, заданные мгновенными значениямиe(t)иJ{t),следует представить по (5.37) соответствующими изображениями Е(р) иJ(p)и, во- вторых, пассивные элементы — схемами замещения по рис. 5.12; Рис. 5.13
2) для полученной схемы замещения в операторной форме составить и решить полную систему независимых уравнений по первому [см. (5.46)] и второму [см. (5.47)] законам Кирхгофа в операторной форме, т.е. найти изображениеF(p)искомой величины, например ток 1(р);
(5.48) |
3) наиболее часто изображение имеет вид рациональной дроби F(p) =^^у Для которой обратным преобразованием нужно найти оригиналf(t), например токi(t).Для этого можно воспользоваться теоремой разложения
fit) = у N(Pt)еп>.
гдеN(p) и М(р) — многочлены в числителе и знаменателе изображенияF(p); М'(р) — производная многочлена М(р) по р; рк — корни многочлена М(р) = 0, где предполагается, что корни простые. Если получаются кратные корни, то теорема разложения записывается в другой форме.
В качестве примера рассчитаем ток в цепи, содержащий В = 3 ветви и У = 2 узла (рис. 5.14, а) при ЭДСe(t)= Ее~ы (рис. 5.14, б) и нулевых начальных условиях, т.е. при гь(0_) = 0, операторным методом.
Для этого выполним последовательно все этапы расчета:
1) по правилам, показанным на рис. 5.12, составим схему замещения в операторной форме (рис. 5.14, в), где Е(р) = Е/(р + а) — изображение функции ЭДСe(t),найденное по (5.37) или выписанное из табл. 5.1;
(5.49а) |
(5.496) (5.49в) |
2) при выбранных положительных направлениях токов составим одно (У—1 = 2 — 1 = 1) уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а:
-hip) +Up) + Up) = о
и два (К = В — У + 1 = 3 — 2 + 1 = 2) уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров 1 и 2:
ад + ОД = ад; ад - ад = о
или
ДОД+ pUL(p) = Е{р); ДОД - pLIL(p) = О,
Щ |
PI |
R-. |
ч |
u2 |
S, |
e(t)
©
|
b a a |
Ri |
h(p)
иы i pl\ |
E(p) |
uM I * 2Л. |
Л) ад |
© ! |
R. |
|
b в
|
Рис. 5.14
где учтены законы Ома для пассивных элементов (2.42) и (2.45а). Решив систему трех алгебраических уравнений (5.49), определим ток в операторной форме:
R2E
Щр) М(р)
(р + а)
L(RI + R2)
Многочлен М(р) = 0 имеет два корня: Pl= -а и р2 =
L(RX+R2)
L(Ri + Яг) |
h(p) |
R1R2 |
Р + |
-RXR2 |
= -(3, aМ\р) = 2р + а + (3. По теореме разложения (5.48) определим ток:
|
-pr |
[e |
-at |
4(t) = |
ERn
RxR2- aL{Ri + R2)
|
изменение тока показано на рис. 5.14, б.
Во многих практических случаях расчетов пользоваться прямым [см. (5.37)] и обратным [см. (5.48)] преобразованиями нет необходимости, так как имеются обширные справочные материалы соответствия оригиналов и их изображений, подобные приведенным в табл. 5.1.
5.10. Расчет переходных процессов на ЭВМ
ТокиiLв индуктивных и напряжения исна емкостных элементах определяют энергию этих элементов [см. (2.5) и (2.13)], инерционность изменения которой при различного рода коммутациях вызывает переходный процесс в цепи. Совокупность токовiLи напряжений ис называется переменными состояния цепи.
Различают два подхода при применении ЭВМ для расчета цепи. Первый подход предполагает универсальные программные средства, включая входной язык формирования системы уравнений цепи по ее топологии. Такие средства созданы в настоящее время, но их разработка и совершенствование требуют специальных знаний в области математики и программирования. Второй подход, рассмотренный в книге, основан на численном решении систем уравнений цепи с помощью подпрограмм стандартного математического обеспечения ЭВМ. При этом расчетчик самостоятельно составляет систему уравнений в форме, необходимой для реализации подпрограмм. Для расчета стационарных режимов цепи это — система уравнений в матричной форме [см. (1.10)], а для расчета переходных процессов — система дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния.
В последнем случае система уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции (2.3) и соотношения между током и напряжением для емкостных элементов (2.11), описывающая переходный процесс в цепи, преобразуется в систему уравнений, разрешенную относительно первых производных токовiLи напряжений ис:
diLl/dt =f1(iLV---,iLmi--'>>'u>cv...,uCn,t)]
dhm/dt —fm(hv-'>hm^",>ucv"">ucn^)^ duci/dt =
^иСт! ^ — fm+n(hv">hm^--'>UCV">UCn^)\
где тип — число индуктивных и емкостных элементов с начальными значениями токов sL1(0),...,iLm(0) и напряжений г/С1(0),...,uCn(0).
Система уравнений (5.37) называется системой уравнений в нормальной форме. Для ее решения разработан ряд эффективных численных методов: метод Эйлера, метод Рунге — Кутта и др., входящих в современное стандартное математическое обеспечение ЭВМ.
Например, система уравнений, описывающая переходный процесс в цепи на рис. 5.15 и составленная на основе законов Кирхгофа
С ic |
Ф) |
0 |
R |
-ic+ к + Ч = 0; ис + uL= e(f); ис ~ Щ = 0 или с зачетом (2.3) и (2.11)
|
Рис. 5.15
|
тdir / ч
= о. |
fi(uc,t); |
«<■ + = Ф);
после исключения тока гд преобразуется в систему уравнений в нормальной форме относительно переменных состоянияiLи ис:
^ _Ш - ЦС) _
dt L
duc_ iL(e(t)-uc)_ (. dt ~C+ RC
гдеe(t) — ЭДС, возбуждающая переходный процесс в цепи при заданных начальных условиях ис(0) и iL(0).
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 297; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!