Имеет представление

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 12Следующая ⇒

- о возможном порядке выполнения преобразований над графиком функции для получения графика функции ; ; ;

- о возможном порядке построения графика функции вида на основе рассмотрения вспомогательной системы координат;

Умеет

- строить графики основных элементарных функций;

- обосновывать преобразования, выполняемые над графиком функции ;

- строить график функции вида , на основе графика функции ;

- строить график функции вида на основе графика функции ;

- строить график функции вида на основе графика функции .

Подготовка к занятию:

Повторить вид графиков элементарных функций.

Содержание занятия:

К числу элементарных функций относятся:

- линейная: ,

- квадратичная: ,

- степенная: ,

- показательная: ,

- логарифмическая: ,

- тригонометрические: ,

- обратные тригонометрические функции: .

Новая функция может быть получена из какой-либо более простой функции с помощью действий над аргументом или над самой функцией. Например, любую функцию вида можно рассматривать как функцию, полученную из основной функции ; функцию вида - как функцию, полученную из основной функции . Тогда график новой функции получается из графика основной функции с помощью некоторых преобразований.

Правило 1. Чтобы построить график функции , надо построить график функции , а затем все точки этого графика сдвинуть вдоль оси на единиц: верх, если ; вниз, если .

Действительно, сравнивая значения функций и при одних и тех же значениях аргумента, можно заметить, что возможны два случая:

- если , то значения функции больше значений функции на единиц, следовательно, график функции получается из графика функции параллельным переносом (сдвигом) его на единиц вверх вдоль оси ;

- если , то значения функции меньше значений функции на единиц, следовательно, график функции получается из графика функции параллельным переносом (сдвигом) его на единиц вдоль вниз оси .

Далее легко доказывается, что при соответствующем параллельном переносе вдоль оси образ любой точки , принадлежащей графику функции , есть точка , принадлежащая графику функции , а также обратно.

Таким образом, графики функций вида при постоянном значении и различных значениях представляют собой семейство параллельных прямых, наклоненных к оси абсцисс под одинаковым углом, тангенс которого равен . Графики функций вида - семейство парабол, ветви которых направлены вверх и координаты вершины .

Правило 2. Чтобы построить график функции , надо построить график функции , а затем все точки этого графика сдвинуть вдоль оси на единиц: влево, если ; вправо, если .

Действительно, сравнивая значения аргумента при одинаковых значениях функций и , можно заметить, что возможны два случая:

- если , то функция принимает значения, равные значениям функции , при меньших на единиц значениях аргумента, следовательно, график функции получается из графика функции параллельным переносом (сдвигом) его на единиц влево вдоль оси ;

если , то функция принимает значения, равные значениям функции , при больших на единиц значениях аргумента, следовательно, график функции получается из графика функции параллельным переносом (сдвигом) его на единиц вправо вдоль оси ;

Таким образом, графики функций вида представляют собой семейство парабол, ветви которых направлены вверх и координаты вершины . В итоге графики функций вида - семейство парабол, ветви которых направлены вверх и координаты вершины .

Правило 3. Чтобы построить график функции , надо построить график функции , а затем все точки этого графика отразить от оси .

К указанному выводу легко прийти, сравнивая значения функций и при одних и тех же значениях аргумента.

Далее, легко доказывается, что при симметрии относительно оси образ любой точки , принадлежащей графику функции , есть точка , принадлежащая графику функции , а также обратно.

Таким образом, графики функций вида - семейство парабол, ветви которых направлены вниз и координаты вершины .

Правило 4. Чтобы построить график функции , надо построить график функции , а затем все точки этого графика отразить от оси .

К указанному выводу легко прийти, сравнивая значения аргумента при одинаковых значениях функций и .

Правило 5. График функции , где , получается из графика функции растяжением в раз вдоль оси при ; сжатием в раз при .

- если , то модули значений функции больше модулей значений функции в раз, следовательно, график функции получается из графика функции растяжением его в раз вдоль оси (от оси );

- если , то модули значений функции меньше модулей значений функции в раз, следовательно, график функции получается из графика функции сжатием его в раз вдоль оси (к оси ).

Далее, легко доказывается, что при соответствующем преобразовании оси образ любой точки , принадлежащей графику функции , есть точка , принадлежащая графику функции , а также обратно.

При для построения графика функции следует использовать два правила 3 и 5 в любом порядке.

Таким образом, графики функций вида или - семейство парабол с общей вершиной соответственно в начале координат или в точке , ветви которых направлены вверх, если , или вниз, если .

Правило 6. График функции , где , получается из графика функции растяжением в раз вдоль оси при ; сжатием в раз при .

Действительно, сравнивая значения аргумента при одних одинаковых значениях функции и , можно заметить, что возможны два случая:

- если , то функция принимает значения, равные значениям функции , при меньших в раз по модулю значениях аргумента, следовательно, график функции получается из графика функции сжатием в раз вдоль оси (к оси );

если , то функция принимает значения, равные значениям функции , при больших в раз по модулю значениях аргумента, следовательно, график функции получается из графика функции растяжением в раз вдоль оси (от оси ).

При для построения графика функции следует использовать два правила 4 и 6 в любом порядке.

Мнемоническое правило: Порядок действий, выполняемых над функцией, совпадает с порядком преобразования графика функции. Порядок преобразования графика функции противоположен порядку действий, выполняемых над аргументом.

Данное правило используется для построения графиков функций вида и . Таким образом, чтобы получить график функции , надо действовать сначала по правилу 5 (растянуть или сжать график функции вдоль оси , при отразить его от оси ), а затем по правилу 1 (выполнить параллельный перенос графика функции вдоль оси ). Чтобы получить график функции , надо действовать сначала по правилу 2 (выполнить параллельный перенос графика функции вдоль оси ), а затем по правилу 6 (растянуть или сжать график функции вдоль оси , при отразить его от оси ).При или вместо правил 5, 6 используются правила 3,4.

В итоге, чтобы получить график функции , можно выполнить сначала все действия над функцией, а затем над аргументом, или наоборот.

Рассмотрим примеры построения графиков функций.

Пример 1. Постройте график функции .

Решение: Преобразуем квадратный трёхчлен:

Итак, нужно построить график функции . Это – график функции , смещённый на единицу вправо (правило 2), растянутый в раза вдоль оси (правило 5) и смещённый на единицу вверх (правило 1). Конечный график представлен на рисунке 4.

Основной недостаток указанного способа построения в том, что параболу приходится строить четыре раза. Построения будут более экономичными, если рассмотреть вспомогательную систему координат без каких-либо обозначений (на рисунке 4 она показана штриховыми линиями) и в этой системе координат построить график функции . Тогда, перенося оси координат на 1 единицу соответственно влево и вниз, получаем конечный график. Оформляем систему координат (отмечаем начало координат, направление осей, единичные отрезки по осям).

Приведённый пример показывает, как можно построить график функции вида на основе графика функции . При этом предварительно следует выделить полный квадрат.

Пример 2. Постройте график функции .

Решение: Выполним преобразования:

Таким образом, нужно построить график функции . Это – график функции , смещённый на единицы влево (правило 2), отражённый от оси (правило 3) и смещённый на единицы вниз (правило 1). Конечный график представлен на рисунке 5.

Построения будут более экономичными, если рассмотреть вспомогательную систему координат без каких-либо обозначений (на рисунке 5 она показана штриховыми линиями) и в этой системе координат построить график функции . Тогда, перенося оси координат соответственно на единицы вправо и единицы вверх, получаем конечный график. Оформляем систему координат (отмечаем начало координат, направление осей, единичные отрезки по осям).

Отметим, что график данной функции имеет две асимптоты (прямые, к которым график функции приближается, но не пересекает их): и .

Приведённый пример показывает, как можно построить график функции вида на основе графика функции . При этом предварительно следует выделить целую часть.

Пример 3. Постройте график функции .

Решение: Выполним преобразования:

Таким образом, нужно построить график функции . Покажем разные способы решения задачи.

Способ 1. Это – график функции , смещённый на единиц влево (правило 2), сжатый в раза вдоль оси (правило 6) и растянутый в раз вдоль оси (правило 5). Конечный график представлен на рисунке 6.

Способ 2. Запишем функцию в виде . Тогда график данной функции получается из графика функции последовательным сжатием в 2 раза и переносом на единиц влево вдоль оси , растяжением в раз вдоль оси .

Построения будут более экономичными, если рассмотреть вспомогательную систему координат без каких-либо обозначений (на рисунке 6 она показана штриховыми линиями) и в этой системе координат построить график функции . Тогда, перенося оси ординат на единиц вправо, получаем конечный график. Оформляем систему координат (отмечаем начало координат, направление осей, единичные отрезки по осям).

Приведённый пример показывает, как можно построить график функции вида на основе графика функции . При этом предварительно следует выполнить преобразования над функцией, умножив и разделив на .

Итак, функцию вида удобнее записывать в виде . В этом случае преобразования графика вдоль оси абсцисс выполняются в той же последовательности, что и преобразования вдоль оси ординат: сначала растяжение или сжатие, а затем параллельный перенос.

Практический приём построения графика функции можно представить следующим образом:

1. Строим вспомогательную систему координат без каких-либо обозначений в ней.

2. В этой системе координат строим график функции .

3. Выполняем параллельные переносы осей координат.

4. Оформляем систему координат (отмечаем начало координат, направления осей, единичные отрезки по осям).

Упражнения к занятию:

1. Постройте графики элементарных функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

2. Постройте графики функций с помощью преобразований графиков элементарных функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) .

Занятие № 4

Построение графиков функций с помощью преобразований графиков основных элементарных функций.

(практикум)

Учебная задача: формировать умение в построении графиков функций вида с помощью преобразований графиков основных элементарных функций.

В результате студент:

Знает

- правила построения графиков функций с помощью простейших преобразований;

Дата добавления: 2015-12-20; просмотров: 13; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!