Имеет представление

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 12Следующая ⇒

- об основных свойствах функций;

- о построении графика функции на основе исследования ее свойств;

- об ограничениях, которые учитываются при нахождении области определения функции;

Умеет

- находить область определения при аналитическом и графическом задании функции;

- находить множество значений при аналитическом и графическом задании функции;

- находить наибольшее и наименьшее значения при аналитическом и графическом задании функции.

Содержание занятия:

Определение: Если даны числовое множество и правило , позволяющее поставить в соответствие каждому элементу из определённое число , то говорят, что задана функция с областью определения . Переменную называют независимой переменной или аргументом, а переменную – зависимой переменной или функцией.

Существует 4 основных способа задания функции:

· аналитический;

· табличный;

· графический;

· словесный.

Определение: Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых есть значения независимой переменной, а ординаты – соответствующие им значения функции.

Для того чтобы кривая была графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы всякая прямая, параллельная оси ординат, либо не пересекалась с этой кривой, либо пересекала её в единственной точке.

Существуют различные способы построения графиков функций. Универсальным можно считать способ, основанный на исследовании основных свойств функции:

· область определения;

· множество значений;

· чётность, нечётность;

· периодичность;

· монотонность.

Область определения функции есть множество всех допустимых значений независимой переменной . Обозначение: или .

Если функция задана аналитически, то под областью определения этой функции следует понимать множество всех значений аргумента, при которых выполнимы все действия, указанные в формуле. Область определения функции находится с учетом следующих ограничений:

- на ноль делить нельзя;

- корень чётной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел;

- степень с действительным показателем определена только для положительного основания;

- отрицательные числа и ноль логарифма не имеют;

- тангенс существует для всех чисел, кроме чисел , где ;

- котангенс существует для всех чисел, кроме чисел , где ;

- арксинус и арккосинус определены только для чисел из отрезка .

Пример 1. Найдите область определения функции .

Решение: Область определения функции есть множество значений . В данном примере отыскание области определения сводится к решению неравенства . Имеем . Учитывая тот факт, что квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, переходим к следующему двойному неравенству: . Получаем

Применив метод интервалов для решения неравенств, находим: .

Ответ: .

При графическом задании функции область определения – проекция графика на ось абсцисс.

Множество значений функции есть множество всех возможных значений зависимой переменной. Обозначение: или .

Если функция задана аналитически, то под множеством значений этой функции следует понимать множество всех значений , при которых уравнение имеет решение относительно , принадлежащих области определения функции.

Пример 2. Найдите множество значений функции .

Решение: Область определения заданной функции есть всё множество действительных чисел. Для отыскания множества значений функции рассмотрим, при каких значениях у уравнение имеет решение относительно ÎR. Квадратное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен. Получаем , т.е. .

Ответ: .

Возможен другой подход к нахождению множества значений функции. Он основан на том факте, что если функция получена из некоторой элементарной функции умножением на число, сложением с числом, возведением в степень, извлечением корня, то множество значений заданной функции можно получить из множества значений элементарной функции с помощью свойств неравенств.

Таким образом, в примере 2, выделив полный квадрат, запишем данную функцию в виде . Множество значений функции есть множество всех неотрицательных чисел, так как эта функция получена из функции , принимающей все возможные действительные значения, возведением в чётную степень. Переходим от верного неравенства к неравенству , т.е. .

Пример 3. Найдите множество значений функции .

Решение: В указанном виде функция представляет собой комбинацию двух элементарных функций: и . Однако данная функция легко приводится к одной элементарной функции:

где определяется из равенств , .

Теперь можно использовать свойства неравенств:

Ответ: .

Иногда множество значений функции легко находится, если предварительно найти область определения функции.

Пример 4. Найдите множество значений функции .

Решение: Найдём сначала область определения функции:

, значит . Так как , то в заданной функции может принимать только значение при , . Тогда множество значений функции состоит из одного числа .

Ответ: .

При графическом задании функции множество значений – проекция графика на ось ординат.

Существуют и другие способы нахождения множества значений функции.

Заметим, что, находя множество значений функции, мы одновременно находим и её наибольшее и наименьшее значения, если они существуют. Так при графическом задании функции наибольшее и наименьшее значения функции есть соответственно наибольшее и наименьшее значения из множества проекций.

Число называют наименьшим значением функции на множестве , если:

1) в существует такая точка , что ;

2) для всех из выполняется неравенство .

Число называют наибольшим значением функции на множестве , если:

1) в Х существует такая точка , что ;

2) для всех из выполняется неравенство .

В примере 2 функция имеет только наименьшее значение: у _наим. = 3. В примере 3 , .

Пример 5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

Решение: Приведём данную функцию к одной элементарной функции: . Множество значений функции есть отрезок , поэтому выражение принимает все значения из отрезка . Тогда выражение принимает все значения из отрезка , а выражение – все значения из отрезка . Потому множеством значений заданной функции является отрезок . Тогда – наименьшее, - наибольшее значения функции.

Ответ: , .

Упражнения к занятию:

1. Почему постоянную величину можно рассматривать как функцию некоторого аргумента?

2. Даны две функции: и . Как записать, что значение при равно значению при ?

3. Дана функция . Как записать, что: 1) число является корнем данной функции; 2) при противоположных значениях аргумента функция принимает: а) равные значения; б) противоположные значения?