Необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя в случае симметричной матрицы с положительной главной диагональю
Теорема. | Если , то (т.е. метод Зейделя сходится) . |
Док–во. | Необходимость: Пусть , но , т.е. ( все вещественны, , иначе , ). Зададим и оценим : , метод не сходится, что противоречит . Достаточность. Докажем, что , т.е. метод сходится. . если , то : 1. . 2. Из 1.–2. . Но, более того, т.к. · , · (здесь , – орт), то , т.е. . |
Лекция 7.
Функционал ошибки
Второй из способов построения итерационного метода решения системы линейных алгебраических уравнений () состоит из построения последовательности приближений такой, что , т.е. строгого убывания на каждом шаге функционала ошибки .
Теорема. | Если () и отображение (оператор шага для ошибки: ) непрерывно при , то , т.е. . |
Док–во. | Т.к. , то . Предположим, что . Т.к. , то . Т.к. , то . Тогда, выполнив предельный переход в соотношениях получим противоречие: . |
Обычно используют нормы, порождаемые симметричной положительно определенной матрицей: .
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!