Порядковые статистики равномерного распределения.

Пусть с.в. X~R[0,1]; с.в. Y~R[a,b], тогда Y=(b – a)X + a

0, xÏ[0,1] 0, xÏ[a,b]

f_x(x) = f_y(x) =

1, xÎ[0,1]; 1/(b–a), xÎ[a,b];

0, x<0 0, x<a

F_x(x) = x, xÎ[0,1]; F_y(x) = , xÎ[a,b]; 1 £ k £ n.

1, x>1 1, x > b

2.1) Связи распределений и моментов случайных величин X₍_k)и Y₍_k):

Очевидно, что Y₍_k) = (b – a)X₍_k)+ a. Тогда F (x) = P{Y₍_k)< x} = =P = F Þ f (x) = f

EY_(k)= (b – a)EX_(k)+ a; DY_(k)= (b – a)²DX_(k); K = (b – a)²K ,

1 £ k < l £n;

W_X= X_(n)– X₍₁₎; W_Y= Y_(n)– Y₍₁₎ = (b – a)(X_(n) – X₍₁₎) = (b – a)W_X;

EW_Y= (b – a)EW_X; DW_Y= (b – a)²DW_X

Замечание. На основании п.1 достаточно изучать порядковые статистики случайной величины X₍_k): f (x) = nC f(x)F^k^-1(x)[1 – F(x)]^n-1.

2.2) Вычисление моментов порядковых статистик равномерного распределения с.в. X~R[0,1].

0, xÏ[0,1]

f_k(x) = f (x) =

nC x^k-1(1 – x)^n-k, xÎ[0,1];

0, x < 0

F_k(x) = F (x) = n C t^k-1(1 – t)^n-kdt, xÎ[0,1].

1, x > 1

Далее используются функции:

Г(p) = x^p^-1e^-^xdx и B(p,q) = x^p^-1(1 – x)^q-1dx; (Г(p + 1) = pГ(p), при целом p

Г(p + 1) = p!; B(p,q) = Г(p)Г(q)/Г(p + q))

EX₍_k)= xf_k(x)dx = n C x^k(1 – x)^n-^kdx = n C B(k + 1,n – k + 1) =

= n C Þ EX₍₁₎= ;

EX_(n)= Þ EY₍₁₎= a + ; EY_(n)= ;

DX_(k)= EX²_(k) – (EX_(k))²;

EX²_(k)= x²f_k(x)dx = n C x^k+1(1–x)^n-kdx = n C B(k+2,n–k+1) =

= n C ;

DX_(k)= ÞDX₍₁₎= = DX_(n);

= EX₍₁₎X_(n) – EX₍₁₎EX_(n);

EX₍₁₎X_(n)= uvf_1n(u,v)dudv, где

n(n–1)f(x)f(y)(F(y) –F(x))^n-2, x,yÎ[0,1] n(n–1)(y–x)^n-2, x,yÎ[0,1]

f₍_ln₎(x,y) = =

0, в противном случае 0, в противном случае

EX₍₁₎X_(n) = n(n – 1) uv(v – u)^n-2dudv = n(n – 1) u( v(v – u)^n-2dv)du;

I = v(v – u)^n-2dv = (v – u)^n-1dv + u (v – u)^n-2dv =

= Þ

Þ EX₍₁₎EX_(n)= u(u – 1)ⁿdu + u²(1 – u)^n-1du =

= B(2,n + 1) + B(3,n) = Þ

По п.1). найти моменты для Y₍_k) самостоятельно.

Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 32; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями: