ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СУЖДЕНИЯ 7 страница

 

Таблицу истинности для конъюнкции (алЬ) можно разъяснить на следующем примере. «Сверкнула молния (а) и загремел гром (Ь)». Она будет истинна в том и только в том случае, если суждения а и b оба истинны. Это и отражено в первой строке. Если же а ложно или b ложно либо и а, и b ложны, то вся конъюнкция обращается в ложь.

Суждение «Увеличение рентабельности достигается путем повы­шения производительности труда (а) или путем снижения себестои­мости продукции (Ь)» — пример нестрогой дизъюнкции.

Дизъюнкция называется нестрогой, если ее члены не исключают друг друга. Такое высказывание истинно в том случае, если истинно хотя бы одно из двух суждений (первые три строки таблицы), и лож­но, если оба суждения ложны. Обозначается a v Ь.

Члены строгой дизъюнкции (a v b) исключают друг друга. Это мож­но разъяснить на примере: «Я поеду на юг на поезде (а) или полечу на самолете (Ь)»; «Я не могу одновременно ехать на поезде и лететь на самолете». Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда истинно лишь одно из двух простых суждений.

Таблицу для импликации (а-^>Ь) можно разъяснить на таком при­мере: «Если через проводник пропустить электрический ток (а), то проводник нагреется (Ь)». Импликация истинна всегда, кроме одного случая: если первое суждение истинно, а второе ложно. Действитель­но, не может быть, чтобы по проводнику пропустили электрический юк, т е. чтобы суждение (а) было истинным, а проводник не нагрелся, । .е. суждение (Ь) было ложным.

Эквиваленция в таблице (а = Ь) характеризуется так: а = Ь истин­но в тех и только в тех случаях, когда и а, и b либо оба истинны, либо < >ба ложны.

Отрицание суждения а (т.е. а) характеризуется так: если а ис- । ннно, то его отрицание ложно, и если а ложно, то а истинно.

Если в формулу входят три переменных, то таблица истинности для этой формулы, включающая все возможные комбинации истин­ности или ложности ее переменных в таблице, будет состоять из 2³ = 8 строк, при четырех переменных в таблице будет 2⁴ = 16 строк; при пяти переменных в таблице имеем 2⁵ = 32 строки; при п переменных — 2” строк.

Алгоритм распределения значения «и» и «л» для переменных (на­пример, для четырех переменных a, b, с, d) таков:

а	ь	с	d
и и и и и и и и л л л л л л л л	и и и и л л л л и и и и л л л л	и и л л и и л л и и л л и и л л	И л и л и л и л и л и л и л и л

 

Имеем 2⁴ = 16 строк.

В столбце для а сначала пишем 8 раз «и» и 8 раз «л».

В столбце для b сначала пишем 4 раза «и» и 4 раза «л», затем по­вторяем и т.д.

Выполнимая формула та, которая может принимать по крайней мере одно значение «истина». Тождественно-истинной формулой на­зывается формула, которая при любых комбинациях значений для вхо­дящих в нее переменных принимает значение «истина» (иначе она называется законом логики, или тавтологией). Тождественно-ложная формула та, которая соответственно принимает только значение «ложь» (она иначе называется противоречием).

Приведем доказательство тождественной истинности двух фор­мул, одна из которых включает две переменные, а другая — три.

Возьмем формулу ((а —> Ь) лЬ) —> а. Таблица истинности для нее будет такой:

а	ь	а	ь	а—>Ь	(а—>£>) лЬ	((а-»Ь) л Ь)—>а
и	и	л	л	И	л	И
и	л	л	и	л	л	и
л	и	и	л	и	л	и
л	л	и	и	и	и	и

Так как в последней колонке мы имеем только значение «исти­на», формула является тождественно-истинной, или законом логики (такие выражения называют тавтологиями).

Рассмотрим таблицу истинности для формулы

((а Ь) л (а с) л (b v с)) —> а.

a	ь	с	а	ь	с	а->Ь	а-*с	(b V с)	(а->Ь) л л (а-»с) л А (Й V С)	л л (а-»с) л л (bvc))->a
и	И	и	л	л	л	И	и	л	Л	И
и	и	л	л	л	и	и	л	и	Л	и
и	л	и	л	и	л	л	и	и	Л	и
и	л	л	л	и	и	л	л	и	Л	и
л	и	и	и	л	л	и	и	л	Л	и
л	и	л	и	л	и	и	и	и	и	и
л	л	и	и	и	л	и	и	и	и	и
л	л	л	и	и	и	и	и	и	И	и

 

Так как в последней колонке мы имеем только значение «исти­на», формула является тождественно-истинной, или законом логики.

Построение таблиц истинности потребуется в последующих гла­вах IV и V для того, чтобы, например, выявлять, будет ли в умозаклю­чении заключение следовать из посылок или нет, т.е. определять, бу­дет ли формула, соответствующая структуре этого умозаключения, законом логики или нет.

§ 4 ВЫРАЖЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗОК
(ЛОГИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ)

В ЕСТЕСТВЕННОМ ЯЗЫКЕ

Логические связки в естественном языке (русском) выражаются различным образом.

Конъюнкция (знак «л») выражается союзами «и», «а», «но», «да», ♦ хотя», «который», «зато», «однако», «не только..., но и» и др. В логике высказываний знак «л» соединяет простые суждения, образуя из них (•ложные. В естественном языке союз «и» и другие слова, соответству­ющие конъюнкции, могут соединять существительные, глаголы, наре­чия, прилагательные и другие части речи. Например: «В корзине у деда чежали подберезовики и маслята» (а л Ь); «Интересная и красиво оформленная книга лежит на столе». Последнее суждение нельзя раз­бить на два простых, соединенных конъюнкцией: «Интересная книга «ежит на столе» и «Красиво оформленная книга лежит на столе», так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна. Тогда это одно простое суждение.

В логике высказываний действует затон коммутативности конъ юнкции (а л Ь) = (Ь л а). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Поэтому не будут эквивалент ными, например, такие два суждения:

1. «Прицепили паровоз, и поезд тронулся» и 2) «Поезд тронулся и прицепили паровоз».

В естественном языке конъюнкция может быть выражена не толь ко словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с запятой, тире

В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначенная av b и a v Ь) выражается союзами «или», «либо», «то ли... то ли» и др. На пример: «Вечером я пойду в кино или в библиотеку»; «...Через несколь ко дней мы окажемся перед хорошеньким выбором: либо придется от править на виселицу ни в чем не повинного человека, либо Британска империя полетит в преисподнюю» (Г.К. Честертон).

Приведем логические схемы и соответствующие им примеры иллюстрирующие разнообразные способы выражения импликации.

2. Если А, то В.

Если поставщики вовремя доставят детали, завод выполнит сво производственный план.

3. Коль скоро А, то В.

Коль скоро приложенные силы снимаются, то сжатая пружина возвращается к своей первоначальной форме.

4. Когда А, имеет место В.

Когда наступает плохая погода, имеет место повышение числ сердечно-сосудистых заболеваний у людей.

5. Для В достаточно А.

Для того чтобы газы расширились, достаточно их нагреть.

6. Для А необходимо В.

Для сохранения мира на земле необходимо объединить усили всех государств в борьбе за мир.

7. А, только если В.

Старшеклассники этого класса не приходили на занятия, тольк если они были больны.

8. В, если А.

«Империи обращались в прах, если в них начинала рушиться се мья...» (В. Астафьев).

Приведем логические схемы и соответствующие им примеры раз нообразных способов выражения эквиваленции.

1. А, если и только если В.

Иванов не закончит cbqh эксперименты к сроку, если и тольк если ему не помогут сотрудники.

2. Если Л, то В, и наоборот.

Если при равномерном движении скорость увеличивается в два раза, то за то же время движения пройденный путь удваивается, и на­оборот.

3. А, если В, и В, если А.

Многоугольник является вписанным в круг, если его вершины к'жат на окружности, и вершины многоугольника лежат на окружно­сти, если этот многоугольник является вписанным в круг.

4. Для А необходимо и достаточно В.

Для того чтобы число без остатка делилось на 3, необходимо и до­статочно, чтобы сумма цифр этого числа делилась без остатка на 3.

5. А равносильно В (иногда).

То, что площадь правильного многоугольника равна произ­ведению полупериметра на апофему, равносильно тому, что площадь правильного многоугольника равна произведению периметра на по­ловину апофемы.

6. Атогда и только тогда, когда В.

Фирма будет согласна принять предложение о покупке товара тогда и только тогда, когда цена этого товара будет снижена на 18%.

Из приведенных выше схем и соответствующих им высказываний । конкретным разнообразным содержанием становится ясно, насколь­ко многогранны в естественном языке (в частности, в русском) сред- । тиа выражения импликации, эквиваленции и других логических свя- .!<ж (логических терминов). Это можно сказать и о других естественных языках^[VIII].

Импликация (а —> Ь) не совсем соответствует по смыслу союзу ■■если... то» естественного языка, так как в ней может отсутствовать содержательная связь между суждениями а'и Ь.

Кроме логических связок, для выражения общих и частных суж­дений в логике используются квантор общности и квантор существо­вания. Запись с квантором общности Х/хР(х)обычно читается так: «Все । (из некоторой области объектов) обладают свойством Р», а запись । квантором существования ЗхР(х) читается: «Существуют такие х (и данной области), которые обладают свойством Р». Например, Зх(х > 100) читается как «Существуют такие х, которые больше 100», где иод х подразумеваются числа. В русском языке квантор общности выражается словами: «все», «всякий», «каждый», «ни один» и др. Кван-

тор существования выражается словами: «некоторые», «существуют» «только некоторые», «не все», «немногие» и др.

В практике математических и иных рассуждений имеются поня тия «необходимое условие» и «достаточное условие». Условие назы вается необходимым, если оно вытекает из заключения (следствия)

Условие называется достаточным, если из него вытекает заключение (следствие). В импликации а —> b переменная а называется основани ем, или антецедентом. Переменная b — следствием, или консеквентом Ниже предлагаются задачи, требующие в каждом из следующих предложений вместо многоточия поставить слова: «необходимо» или «достаточно» либо «необходимо и достаточно».

1. Для того чтобы сумма двух целых чисел была четным числом.. чтобы каждое слагаемое было четным.

2. Для того чтобы число делилось на 15... чтобы оно делилось на 5

3. Для того чтобы произведение (х - 3) (х + 2) (х - 5) было равно 0... чтобы х = 3.

4. Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником... что бы все его углы были равны.

§ 5. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СУЖДЕНИЯМИ
ПО ЗНАЧЕНИЯМ ИСТИННОСТИ

Суждения, как и понятия, делятся на сравнимые (имеют тождест­делятся на совместимые и несовместимые.

В математической логике два простых высказывания р и q назы­ваются несовместимыми, если из истинности одного из них необходи мо следует ложность другого (т.е. р и q не могут оказаться одновре­менно истинными).

Простые совместимые суждения выражают одну и ту же мысл] полностью или лишь в некоторой части. Отношения совместимости эквивалентность, логическое подчинение, частичное совпадение (суб­контрарность ).

Простые эквивалентные суждения выражают одну и ту же мысл! в различной форме («Юрий Гагарин — первый космонавт» и «Юриг Гагарин первым полетел в космос»). Субъект здесь один и тот же, а пре­дикаты — тождественные понятия. Если два суждения эквивалентны то невозможно, чтобы одно из них было истинным, а другое ложным.

Простые совместимые суждения, находящиеся в отношении ло­гического подчинения, имеют общий предикат;, понятия, выражающие субъекты двух таких суждений, могут находиться в отношении логи-

веского подчинения или быть тождественными понятиями. Отноше­ния между суждениями по истинности принято схематически изобра­жать в виде «логического квадрата».

Противоположность

Рис. 16

 

Возьмем суждение: «Все слоны — млекопитающие». Это сужде­ние А общеутвердительное (подчиняющее). Суждение /: «Некоторые слоны — млекопитающие» — подчиненное.

Для суждений А и I, а также £ и О, находящихся в отношении логического подчинения, истинность общего суждения определяет истинность частного, подчиненного суждения. Но ложность общего суждения оставляет частное суждение неопределенным. Истинность частного суждения оставляет общее суждение неопределенным (при нарушении этого правила может возникнуть логическая ошибка — ■ поспешное обобщение»). Ложность частного суждения обусловливает южность общего суждения. Если истинно суждение: «Ни одна хло­релла не является многоклеточной зеленой водорослью», то будет ис­тинным суждение: «Некоторые хлореллы не являются многоклеточ­ными зелеными водорослями». Умозаключение от общего суждения к логически подчиненному ему частному суждению всегда будет да- вать истинное заключение.

В отношении частичного совпадения (субконтрарности) находят­ся два таких совместимых суждения / и О, которые имеют одинаковые субъекты и одинаковые предикаты, но различаются по качеству. Напри­мер, I — «Некоторые свидетели дают истинные показания» и О — «Не­которые свидетели не дают истинных показаний». Оба они одно­временно могут быть истинными, но не могут быть одновременно ложными. Если одно из них ложно, то другое обязательно истинно. Но если одно из них истинно, то другое неопределенно (оно может

быть либо истинным, либо ложным). Например, если истинно сужде­ние I — «Некоторые книги этой библиотеки изданы на корейском язы­ке», то суждение О — «Некоторые книги этой библиотеки не являются изданными на корейском языке» — будет неопределенным, т.е. оно может быть как истинным, так и ложным.

Отношения несовместимости: противоположность, противоре­чие. По логическому квадрату в отношении противоположности (контрарности) находятся суждения А и Е. Суждения: А — «Все люди трудятся добросовестно» и Е —. «Ни один человек не трудится добро­совестно» — оба ложны. Но Л и £ не могут быть оба истинными. Если одно из противоположных суждений истинно, то другое ложно.

Итак, из^[IX] истинности одного из противоположных суждений вы­текает ложность другого, но ложность одного из них оставляет другое суждение неопределенным.

В отношении противоречия (контрадикторности) находятся суж­дения А и О, а также £ и I. Два противоречащих суждения не могут быть одновременно истинными и одновременно ложными. Если в настоящее время истинно суждение I — «Некоторые летчики — космонавты», то ложным будет суждение: «Ни один летчик не является космонавтом».

Закономерности, выражающие отношения между суждениями по истинности, имеют большое познавательное значение, так как они помогают избежать ошибок при непосредственных умозаключениях,, производимых из одной посылки (одного суждения).

Отношения между сложными высказываниями¹

Отношения между сложными высказываниями зависят от тех значений истинности, которые они принимают при изменении значе­ний истинности входящих в них простых высказываний.

Два сложных высказывания называются совместимыми, если при разнообразных значениях истинности входящих в них простых вы­сказываний они хотя бы один раз являются вместе истинными. Напри­мер, высказывания а л b и a v b совместимы, так как в случае, когда а и b истинны, оба эти высказывания принимают значение «истина».

Два сложных высказывания находятся в отношении проти­воречия, если при любых распределениях значений истинности про­стых высказываний они принимают противоположные значения, т.е. если одно из них истинно, то другое ложно, и наоборот.В таком отно­шении находятся, например, высказывания a v b и а л Ь.

В отношении равнозначности, или эквивалентности, находятся сложные высказывания, которые при любых значениях входящих в них простых высказываний принимают одинаковые истинностные значе­ния. Такие высказывания можно заменять одно на другое, что часто бывает полезно при различных формальных преобразованиях. К лис­пу эквивалентных высказываний относятся, например, следующие:

---

Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!