РАЗЛИЧИЕ ПОЛОЖЕНИЯ В КОНЦЕ ДРЕВНЕГО МИРА, ОКОЛО 300 г., И В КОНЦЕ СРЕДНЕВЕКОВЬЯ — 1453 г.28 29 страница

( и т. д. разобрать до этого).

Поворотным пунктом в математике была декартова перемен­ная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходи­мым диференциалъное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем.

* * *

Количество и качество³. Число есть чистейшее количествен­ное определение, какое мы только знаем. Но оно полно каче­ственных различий. 1) Гегель, численность и единица, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Уже благодаря этому получаются, — чего не подчеркнул Гегель, — качествен­ные различия: простые числа п произведения, простые корни и степени. 16 есть не только суммирование 16 единиц, оно также квадрат от 4 и биквадрат от 2. Более того, простые числа сооб­щают числам, получающимся из них путем умножения на дру­гие числа, новые, вполне определенные качества: только чет­ные числа делятся на два; аналогичное определение — для 4 и 8. Для деления на 3 мы имеем правило о сумме цифр. То же самое в случае 9 и 6, где оно соединяется' также со свойством четного числа. Для 7 особый закон. На этом основываются фокусы с чис­лами, которые непосвященным кажутся непонятными. Поэтому неверно то, что говорит Гегель («Количество», стр. 237) ⁴ о мысли­тельной скудости арифметики. Ср. однако: «Мера»⁵.

Говоря о бесконечно большом и бесконечно малом, математика вводит такое качественное различие, которое имеет даже харак­тер непреодолимой качественной противоположности: мы имеем

{207}

здесь количества, столь колоссально отличные друг от друга, что между ними прекращается всякое рациональное отношение, всякое сравнение, и что они становятся количественно несоизме­римыми. Обычная несоизмеримость, например несоизмеримость круга и прямой линии, тоже представляет собою диалектическое качественное различие; но здесь ⁸ именно количественная раз­ность однородных величин заостряет качественное различие до несоизмеримости.

* * *

Число⁷. Отдельное число получает некоторое качество уже в числовой системе и сообразно тому, какова эта система. 9 есть не только суммированная девять раз 1, но и основание для 90, 99, 900 ООО н т. д. Все числовые законы зависят от положенной в основу системы и определяются ею. В двоичной и троичной системе 2x2 не=4, а = 100 или=11. Во всякой системе с нечетным основанием теряет свою силу различие четных и нечетных чисел. Например, в пятеричной системе 5= 10, 10=20, 15 = 30. Точно так же в этой системе теряет свою силу правило о сумме цифр, делящейся на 3, для чисел кратных трем, соответ­ственно— девяти (6=11, 9=14). Таким образом, основание числовой системы определяет качество не только себя самого, но и всех прочих чисел.

Если мы возьмем степенное отношение, то здесь дело идет еще дальше: всякое число можно рассматривать как степень вся­кого другого числа — существует столько систем логарифмов, сколько имеется целых и дробных чисел.

Единица⁸. Ничто не выглядит проще, чем количественная единица, и ничто не оказывается многообразнее, чем эта единица, коль скоро мы начнем изучать ее в связи с соответственной мно­жественностью, с точки зрения различных способов происхожде­ния ее из этой множественности. Единица — это, прежде всего, основное число всей системы положительных и отрицательных чисел, благодаря последовательному прибавлению которого к са­мому себе возникают все другие числа. — Единица есть выра­жение всех положительных, отрицательных и дробных степеней единицы: 1², , 1^-2 все равны единице. — Единица есть зна­чение всех дробей, у которых числитель и знаменатель оказываются равными. — Она есть выражение всякого числа, возведенного в нулевую степень, и поэтому она единственное число, логарифм которого во всех системах один и тот же, а именно =0. Тем самым единица есть граница, делящая на две части все воз­можные системы логарифмов: если основание больше единицы, то логарифмы всех чисел, больших единицы, положительны,

{208}

а логарифмы всех чисел, меньших единицы, отрицательны; если основание меньше единицы, то имеет место обратное. — Таким об­разом, если всякое число содержит в себе единицу, поскольку оно составляется из одних лишь сложенных друг с другом единиц, то единица, в свою очередь, содержит в себе все другие числа. Не только в возможности, поскольку мы любое число мо­жем построить из одних только единиц, но и в действительно­сти, поскольку единица является определенной степенью лю­бого другого числа. Однако те самые математики, которые непринужденнейшим образом вводят, где им это удобно, в свои выкладки x⁰= 1 или же дробь, числитель и знаменатель которой равны и которая тоже, значит, представляет единицу, — математики, которые, следовательно, применяют математическим образом содержащуюся в единице множественность, морщат нос и строят гримасы, когда им говорят в общей форме, что единица и множе­ственность являются нераздельными, проникающими друг друга понятиями и что множественность так же содержится в единице, как и единица в множественности. А в какой мере дело обстоит именно так, это мы видим, лишь только мы покидаем область чистых чисел. Уже при измерении линий, площадей и объемов обнаруживается, что мы можем принять за единицу любую ве­личину соответствующего порядка, и то же самое относится к из­мерению времени, веса," движения и т. д. Для измерения клеток миллиметры и миллиграммы еще слишком велики, для измерения звездных расстояний или скорости света километр уже неудобен из-за малой величины, как мал килограмм для измерения масс планет, а тем более солнца. Здесь с очевидностью обнаружи­вается, какое многообразие и какая множественность содержатся в столь простом на первый взгляд понятии единицы.

* * *

Оттого что нуль есть отрицание всякого определенного коли­чества, он не лишен содержания. Наоборот, пуль имеет весьма определенное содержание. Как граница между всеми положи­тельными и отрицательными величинами, как единственное дей­ствительно нейтральное число, не могущее быть ни положитель­ным, ни отрицательным, он не только представляет собою весьма определенное число, но и по своей природе важное всех других, ограничиваемых им чисел. Действительно, нуль богаче содержа­нием, чем всякое иное число. Прибавленный к любому числу справа, он в нашей сиcтеме счисления удесятеряет данное число. Вместо нуля для этой цели можно было бы применить любой другой знак, но лишь при том условии, чтобы этот знак, взятый сам по себе, означал нуль, был бы равен нулю. Таким образом, в самой природе нуля заключено то, что он находит такое при­менение и что только он один может получить такое применение.

{209}

Нуль уничтожает всякое другое число, на которое его умножают; если его сделать делителем или делимым по отношению к любому другому числу, то это число превращается в первом случае в бес­конечно большое, а во втором случае — в бесконечно малое; нуль есть единственное число, находящееся в бесконечном отно­шении к любому другому числу. Дробь может выражать лю­бое число между и и представляет в каждом случае некоторую действительную величину. — Действительное содер­жание какого-нибудь уравнения обнаруживается со всей ясностью лишь тогда, когда все члены его перенесены на одну сторону и уравнение тем самым приравнено к нулю, как это имеет место уже п квадратных уравнениях и как это является почти общим пра­вилом в высшей алгебре. Функцию F (х, у) = 0 можно затем при­равнять также к некоторому z, чтобы диференцировать этот z, хотя он = 0, как обыкновенную зависимую переменную и полу­чить его частную производную.

Но ничто от каждого отдельного определенного количества само имеет еще количественное определение, и лишь поэтому можно оперировать нулем. Те самые математики, которые без всякого стеснения оперируют с нулем вышеуказанным образом, т. е. оперируют с ним как с определенным количественным пред­ставлением, приводя его в количественные отношения к дру­гим количественным представлениям, — поднимают страшный вопль, когда находят это у Гегеля в такой обобщенной форме: ничто от некоторого нечто есть некое определенное ничто ⁹.

Перейдем теперь к (аналитической) геометрии. Здесь нуль — определенная точка, начиная от которой на дайной прямой в од­ном направлении отсчитываются положительные величины, а в противоположном — отрицательные. Таким образом, здесь ну­левая точка не только так же важна, как любая точка, обозна­чаемая при помощи некоторой положительной или отрицатель­ной величины, но и гораздо важнее всех их; это — та точка, от которой все они зависят, к которой все они относятся, которой они все определяются. Во многих случаях она может браться даже совершенно произвольным образом. Но раз она взята, она остается средоточием всей операции, часто даже определяет на­правление той линии, на которую наносятся другие точки, конеч­ные точки абсцисс. Если, например, чтобы получить уравне­ние круга, мы примем любую точку периферии за нулевую точку, то линия абсцисс должна проходить через центр круга. Все это находит свое применение также и в механике, где точно так же при вычислении движений принятая в том или другом случае нулевая точка образует главный пункт и стержень всей операции. Нулевая точка термометра — это вполне определенная нижняя граница температурного отрезка, разделяемого на про­извольное число градусов и служащего благодаря этому мерой

{210}

температур как внутри самого себя, так и высших или пизших температур. Таким образом, и здесь она является весьма существенной точкой. И даже абсолютный нуль термометра пред­ставляет отнюдь не чистое абстрактное отрицание, а очень опреде­ленное состояние материи — именно ту границу, у которой исче­зает последний след самостоятельного движения молекул и мате­рия действует только как масса. Итак, где бы мы ни встречались с нулем, он повсюду представляет нечто весьма определенное, и его практическое применение в геометрии, механике и т. д. доказывает, что в качестве границы он важнее, чем все действи­тельные, ограничиваемые им величины ¹⁰.

* * *

Пулевые степени¹¹. Их значение в логарифмическом ряду: Все переменные проходят где-нибудь через значение единицы; таким образом, также и постоянная в пере­менной степени (а^х) равняется единице, когда х — 0. Выражение а⁰ = 1 не означает ничего другого, кроме того, что единица берется в ее связи с другими членами ряда степеней а. Только в этом слу­чае оно имеет смысл и может дать полезные результаты ,¹² в противном же случае — нет. Отсюда следует, что и единица, как бы она ни казалась тождественной самой себе, заключает в себе бескопечяое многообразие, ибо она может быть пулевой степенью любого другого числа; а что это многообразие отнюдь не воображаемое, обнаруживается всякий раз, когда единица рассматривается как определенная единица, как один из переменных результатов какого-нибудь процесса (как мгно­венная величина или форма некоторой переменной) в связи с этим процессом.

* * *

. — Отрицательные величины алгебры реальны лишь постольку, поскольку они соотносятся с положительными вели­чинами, реальны лишь в рамках своего отношения к последним; взятые вне этого отношения, сами по себе, они носят чисто вооб­ражаемый характер. В тригонометрии и в аналитической гео­метрии, а также в построенных на них отраслях высшей мате­матики они выражают определенное направление движения, противоположное положительному направлению. Но синусы и тангенсы круга можно с одинаковым успехом отсчитывать как с первого, так и с четвертого квадранта и, таким образом, можно прямо заменить плюс на минус, и обратно. Точно так же в анали­тической геометрии можно отсчитывать абсциссы в круге, начи­ная либо с периферии, либо с центра, и вообще у всех кривых

{211}

абсциссы можно отсчитывать от кривой в направлении, обозна­чаемом обыкновенно знаком минус, [или] в любом другом направлении, и тем не менее мы получаем правильное рациональ­ное уравнение кривой. Здесь плюс существует только как необ­ходимое дополнение минуса, и обратно. Но алгебраическая абстракция рассматривает их [отрицательные величины] как дей­ствительные, самостоятельные величины, [имеющие значение] также и вне отношения к некоторой большей, положительной величиие¹³.

* * *

Математика¹⁴. Обыкновенному человеческому рассудку кажется нелепостью разлагать некоторую определенную величину, например бином, в бесконечный ряд, т. е. в нечто неопределенное. Но далеко ли ушли бы мы без бесконечных рядов или без теоре­мы о биноме?

* * *

Асимптоты¹⁵. Геометрия начинает с открытия, что прямое и кривое суть абсолютные противоположности, что прямое пол­ностью не выразимо в кривом, а кривое — в прямом, что они несоизмеримы между собою. И тем не менее уже вычисление круга возможно лишь в том случае, если выразить его периферию в виде прямых линий. В случае же кривых с асимптотами прямое совер­шенно расплывается в кривое и кривое в прямое, — точно та]? же как расплывается представление о параллелизме: линии не параллельны, они непрерывно приближаются друг к другу и все-таки никогда не сходятся. Ветвь кривой становится все прямее, не делаясь никогда вполне прямой, подобно тому как в аналити­ческой геометрии прямая линия рассматривается как кривая первого порядка с бесконечно малой кривизной. Сколь бы боль­шим ни сделалось — х логарифмической кривой, у никогда не станет = 0.

* * *

Прямое и кривое¹⁶. В диференциальном исчислении они в ко­нечном счете приравниваются друг к другу. В диференциальном треугольнике, гипотенузу которого образует диференциал дуги (если пользоваться методом касательных), эту гипотенузу можно рассматривать «как маленькую прямую линию, являющуюся од­новременно элементом дуги и элементом касательной», — все равно, будем ли мы рассматривать кривую как состоящую из бесконечно многих прямых линий или же «как строгую кривую; ибо, поскольку искривление в каждой точке М бесконечно мало, то последнее отношение элемента кривой к элементу касательной есть, очевидно, отношение равенства»¹⁷. Отношение здесь непре­рывно приближается к отношению равенства, но приближается,

{212}

Сообразно природе кривой, асимптотическим образом, так как Соприкасание ограничивается точкой, не имеющей длины. Тем не менее в конце концов принимается, что равенство кривой и прямой достигнуто (Bossut, «Calcul diff. et intйgr.», Paris, An VI, I, стр. 149)^ls. В случае полярных кривых¹⁹ диференциальная воображаемая абсцисса принимается даже за параллельную действительной абсциссе, и на основе этого допущения производят дальнейшие действия, хотя обе пересекаются в полюсе; отсюда даже умозаключают о подобии двух треугольников, из которых один имеет один из своих углов как раз в точке пересечения тех двух лцыий, на параллелизме которых основывается все подобие! (фиг. 17)²⁰.

Когда математика прямого и кривого оказывается, можно сказать, исчерпанной, то новое, почти безграничное поприще от­крывается такой математикой, которая рассматривает кривое как прямое (диференциальный треугольник) и прямое как кривое (кривая первого порядка с бесконечно малой кривизной). О ме­тафизика!

* * *

Тртонометрия ²¹. После того как синтетическая геометрия до конца исчерпала свойства треугольника, поскольку послед­ний рассматривается сам по себе, и не в состоянии более сказать ничего нового, перед нами благодаря одному очень простому, вполне диалектическому приему открывается некоторый более широкий горизонт. Треугольник более не рассматривается в себе и сам по себе, а берется в связи с некоторой другой фигурой, кру­гом. Каждый прямоугольный треугольник можно рассматривать как принадлежность некоторого круга: если гипотенуза = r, то катеты образуют синус и косинус; если один катет = r, то другой катет = tg, а гипотенуза = sec. Благодаря этому стороны и углы получают совершенно иные определенные взаимоотношения, ко­торых нельзя было открыть и использовать без этого отнесения треугольника к кругу, и развивается совершенно новая, далеко превосходящая старую теория треугольника, которая применима повсюду, ибо всякий треугольник можно разбить на два прямо­угольных треугольника. Это развитие тригонометрии из синте­тической геометрии является хорошим примером диалектики, рассматривающей вещи не в их изолированности, а в их взаимной связи.

* * *

Тождество и различие — диалектическое отношение уже в диференциальном исчислении, где dx бесконечно мало, но тем не менее действенно и производит все ²².

{213}

* * *

Молекула и диференциал²³. Видеман (III, стр. 636) ²⁴ прямо противопоставляет друг другу конечное расстояние и молеку­лярное.

* * *

О ПРООБРАЗАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО БЕСКОНЕЧНОГО В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОМ МИРЕ ²⁵

К стр. 17—18 ²⁶: Согласие между мышлением и бытием.— Бесконечное

В математике

Над всем нашим теоретическим мышлением господствует с аб­солютной силой тот факт, что наше субъективное мышление и объективный мир подчинены одним и тем же законам и что по­этому они и не могут противоречить друг другу в своих резуль­татах, а должны согласоваться между собою. Факт этот является бессознательной и безусловной предпосылкой нашего теоретиче­ского мышления. Материализм XVIII века вследствие своего по существу метафизического характера исследовал эту предпо­сылку только со стороны ее содержания. Он ограничился доказа­тельством того, что содержание всякого мышления и знания должно происходить из чувственного опыта, и восстановил поло­жение: nihil est in intellcctu, quod non fuerit in sensu [в интел­лекте нет ничего такого, что не содержалось бы раньше в чув­стве]. Только новейшая идеалистическая, но вместе с тем и диалектическая философия — ив особенности Гегель — исследо­вали эту предпосылку также и со стороны формы. Несмотря на бесчисленные произвольные построения и фантастические вы­думки, которые здесь выступают перед нами; несмотря на идеа­листическую, на голову поставленную форму ее результата — единства мышления и бытия, — нельзя отрицать того, что эта философия доказала на множестве примеров, взятых из самых разнообразных областей, аналогию между процессами мышления и процессами природы и истории—и обратно — и господство одинаковых законов для всех этих процессов. С дру­гой стороны, современное естествознание расширило тезис об опытном происхождении всего содержания мышления в таком смысле, что совершенно опрокинуты были его старая метафизиче­ская ограниченность и формулировка. Современное естествознание признает наследственность приобретенных свойств и этим рас­ширяет субъект опыта, распространяя его с индивида на род: теперь уже не считается необходимым, чтобы каждый отдельный индивид лично испытал все на своем опыте; его индивидуаль­ный опыт может быть до известной степени заменен результатами опыта ряда его предков. Если, например, у нас математические аксиомы представляются каждому восьмилетнему ребенку чем-то

---

Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 63; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!