Графіки лінійних рівнянь із двома змінними
| Графіком лінійного рівняння з двома змінними, в якому хоча б один (один або обидва) з коефіцієнтів при змінних відмінний від нуля, є пряма. |
Коротко, графіком будь-якого лінійного рівняння першого степеня є пряма.
Навпаки, кожна пряма координатної площини є графіком деякого лінійного рівняння з двома змінними.
Приклад.
Графіками лінійних рівнянь 5x + 0y = 7; 0x + 4y = 3; 4x + 5y = 2; 4x + 3y = 0 є прямі.
Графіком лінійного рівняння з двома змінними 0x + 0y = 0, в якому всі коефіцієнти при змінних і вільний член дорівнюють нулю, є вся координатна площина.
Коротко, рівнянням координатної площини є рівняння 0x + 0y = 0.
Лінійні рівняння, у яких обидва коефіцієнти дорівнюють нулю, а вільний член відмінний від нуля, тобто рівняння виду 0x + 0y = c, де c ¹ 0, не мають графіків.
Приклад.
Лінійні рівняння 0x + 0y = 4; 0x + 0y = –1; 0x + 0y = 0,1 не мають графіків.
Обґрунтування
Розв’язком рівняння 0x + 0y = 0 є будь-які пари чисел. Отже, будь-яка точка координатної площини є точкою графіка цього рівняння.
Рівняння виду 0x + 0y = c, де c ¹ 0, не мають розв’язків. Отже, на координатній площині немає точок, які були б точками цього графіка.
| Графіком рівняння x = m на координатній площині є пряма, яка перетинає вісь x у точці з абсцисою m і перпендикулярна до цієї осі (тобто паралельна до осі y). |
Обґрунтування
Рівняння x = m можна записати як x + 0y = m, розв’язком якого є усі пари чисел, у яких значення змінної x дорівнює m, а y — будь-яке число. Такі розв’язки зображають на координатній площині точками, у яких абсциса дорівнює m, а ордината — будь-яке число. Усі ці точки належать прямій, перпендикулярній до осі x і яка перетинає її у точці з абсцисою m.
|
|
|
Приклади.
| 
| 
| 
|
| Рис. 13 | Рис. 14 | Рис. 15 | Рис. 16 |
Щоб побудувати пряму, яка є графіком рівняння першого степеня ax + 0y = c, потрібно:
· подати рівняння у вигляді рівняння першого степеня з однією змінною: ax = c;
· знайти абсцису точки перетину графіка з віссю x: 
;
· провести через точку 
осі x пряму, перпендикулярну до неї.
Проведена пряма і є графіком рівняння ax + 0y = c.
Приклад.
Побудувати графік рівняння 2x + 0y = 8.
1) Записуємо дане рівняння як рівняння першого степеня з однією змінною: 2x = 8.
2) Розв’язуємо його: x = 4.
3) Позначаємо на осі x точку з абсцисою 4 і проводимо через неї пряму, перпендикулярну до осі x (рис. 17).
| Графіком рівняння y = n на координатній площині є пряма, яка перетинає вісь y у точці з ординатою n і перпендикулярна до цієї осі (тобто паралельна до осі x). |
Приклади.
| 
| 
| 
|
| Рис. 18 | Рис. 19 | Рис. 20 | Рис. 21 |
Щоб побудувати пряму, яка є графіком рівняння першого степеня 0x + by = c, потрібно:
|
|
|
· подати рівняння у вигляді рівняння першого степеня з однією змінною: by = c;
· знайти ординату точки перетину графіка з віссю y: 
;
· провести через точку 
осі y пряму, перпендикулярну до неї.
Проведена пряма і є графіком рівняння 0x + by = c.
Приклад.
Побудувати графік рівняння 0x + 2y = 6.
1) Записуємо дане рівняння як рівняння першого степеня з однією змінною: 2y = 6.
2) Розв’язуємо його: y = 3.
3) Позначаємо на осі y точку з ординатою 3 і проводимо через неї пряму, перпендикулярну до осі y (рис. 22).
| Щоб побудувати пряму, яка є графіком рівняння першого степеня ax + by = c, потрібно: |
· знайти два його розв’язки;
· зобразити розв’язки точками координатної площини;
· провести через ці точки пряму.
Проведена пряма і є графіком рівняння ax + by = c.
Приклади.
1. Побудувати графік рівняння x + y = 4.
1) Знаходимо два розв’язки. Нехай x = 0, тоді 0 + y = 4; y = 4; розв’язок (0; 4); нехай y = 0, тоді x + 0 = 4; x = 4; розв’язок (4; 0).
2) Будуємо на координатній площині точки А(0; 4) і В(4; 0).
3) Проводимо пряму АВ (рис. 23). Дана пряма є графіком рівняння x + y = 4.
2. Побудувати графік рівняння 3x + y = 4.
1) Виразимо змінну y через змінну x: y = –3x + 4.
2) Знаходимо два розв’язки рівняння. Нехай x = 0, тоді y = –3 · 0 + 4 = 4; y = 4; розв’язок (0; 4); нехай x = 1, тоді y = –3 · 1 + 4 = –3 + 4 = 1; y = 1; розв’язок (1; 1).
|
|
|
2) Будуємо на координатній площині точки C(0; 4) і D(1; 1).
3) Проводимо пряму СD (рис. 24). Дана пряма є графіком рівняння 3x + y = 4.
| 
|
| Рис. 23 | Рис. 24 |
Графіком лінійного рівняння ax + by = 0, де a ¹ 0 і b ¹ 0, або рівняння виду y = kx є пряма, яка проходить через початок координат.
Обґрунтування
Координати (0; 0) точки початку координат задовольняють рівняння ax + by = 0 і y = kx: a · 0 + b · 0 = 0; 0 = 0 — правильна числова рівність; 0 = k · 0; 0 = 0 — правильна числова рівність.
Для побудови графіків рівнянь ax + by = 0 і y = kx достатньо знайти координати однієї точки (іншою точкою є початок координат).
Приклад.
Графіки рівнянь 2x + 3y = 0; 3x = y; y = 4x; y = –0,8x проходять через початок координат.
Початкове вивчення теорії
Навчальні завдання
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 932; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!