Наклонные и горизонтальные асимптоты
Определение. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при ,если эту функцию можно представить в виде , , т. е. разность между ординатами точек кривой и асимптоты при есть бесконечно малая величина.
Теорема. Для того, чтобы график функции имел наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы имели место соотношения:
, , причем эти пределы могут быть неравными при и при . Если , , получаем горизонтальную асимптоту . Таким образом, прямая является горизонтальной асимптотой кривой , если .
Задача 2. Найти асимптоты графика функции .
Решение. . Вычислим =
= , .
Найдем : .
Получим уравнение асимптоты ; убедимся, что утверждение теоремы выполняется. Преобразуем функцию, выделив целую часть.
, где ,
Кроме того, функция имеет вертикальную асимптоту , т. к.
, .
Задача 3. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Найдем . При функция терпит разрыв второго порядка, т. к.
.
Таким образом, является вертикальной асимптотой.
Найдем горизонтальные асимптоты.
, следовательно, является горизонтальной асимптотой.
Общая схема исследования функции
1. Найти область определения функции, исследовать ее поведение на границах области определения.
2. Найти точки разрыва и установить их характер с помощью односторонних пределов.
3. Исследовать периодичность, четность (нечетность), найти точки пересечения графика с осями координат.
|
|
4. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.
5. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.
6. Найти асимптоты графика.
7. Построить график, используя результаты исследования.
Задача 4. Провести полное исследование и построить график функции .
1. Найдем область определения . из условия , , , следовательно,
2. , – точки разрыва. Найдем односторонние пределы:
, ,
, .
Отсюда следует, что и – точки разрыва второго рода, и – вертикальные асимптоты.
3. Для установления симметрии графика функции
найдем = – , это означает, что – нечетная функция, и ее график симметричен относительно начала координат. Достаточно провести ее исследование для . Очевидно, что функция не является периодической. Точка О (0,0) является единственной точкой пересечения с осями координат, т.к. .
4. Первая производная: ,
Критические точки найдем из условий , .
а) , , , .
Решая биквадратное уравнение, найдем .
б) , , , .
Таким образом, критические точки функции: , , а точки не входят в область определения, следовательно, не являются критическими точками. Проверим критические точки на экстремум по первому признаку.
, при , , при
Так как производная меняет знак при переходе через критическую точку, то в точке функция имеет минимум. Составим таблицу.
|
|
0 | (0, 1) | 1 | (1; 2.05) | 2,05 | (2,05, ) | |
0 | не сущ. | (min) 3,4 | ||||
0 | – | не сущ. | – | 0 | + |
5. Найдем . Критические
точки второго рода найдем из условия , , ; при ,откуда . Так как не входят в область определения функции, то единственная критическая точка. Проверим знак второй производной при переходе через точку при ,
при . меняет знак с «+» на «–», значит, – точка перегиба, и график меняет вогнутость на выпуклость при переходе через критическую точку. Итак, в (0, 1) функция выпукла, а в – вогнута.
6. Найдем асимптоты. Наклонные асимптоты имеют вид: ;
= ,
, ,
отсюда уравнение наклонной асимптоты . Горизонтальные асимптоты отсутствуют, а вертикальные были найдены в п. 2.
7. По результатам исследования построим график. Так как
функция нечетная, то можно построить график для и отобразить его симметрично начала координат.
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 201; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!