Производная и правила дифференцирования
1. Пусть функция = получила приращение , соответствующее приращению аргумента .
Определение . Если существует предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента , при , стремящимся к нулю, т. е. , то он называется производной функции по независимой переменной и обозначается , или , или .
Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой.
Задача 1. Используя определение, найти производные функций
а) , б) .
Решение: а) Дадим аргументу приращение и найдем соответствующее значение функции = , теперь найдем
и составим отношение .
Осталось вычислить , .
б) пусть аргумент получил приращение , новому значению аргумента соответствует значение функции .
Найдем приращение . .
Тогда , .
Основные правила дифференцирования
Если =соnst, а функции , дифференцируемы, то
1. 4. ;
2. ; 5. ;
3. ; 6. .
Таблица производных основных элементарных функций
1. ; 10. ;
2. , ; 11. ;
3. ; 12. ;
4. ; 13. ;
5. ; 14. ;
6. ; 15. ;
7. ; 16. ;
8. ; 17. ;
9. ; 18. .
Правило дифференцирования сложной функции
|
|
Если и , т. е. , где и имеют производные, то . Здесь – промежуточный аргумент. Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций.
Задача 2. Найти производные функций:
а) , б) , в) , г) .
Решение: а) представим функцию в табличной форме как сумму степенных функций и затем только найдем производную.
,
.
б) введем промежуточный аргумент и затем воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.
, , =3 ;
в) пусть , где , тогда ,
= = .
Окончательно: , ;
г) правило 4 можно распространить на любое число сомножителей, если перемножаемые функции дифференцируемы.
, , в данном случае
, , , ,
, ,
.
Дифференцирование сложной показательно-степенной функции . Логарифмическое дифференцирование
Пусть и – дифференцируемые функции. Чтобы найти производную функции предварительно прологарифмируем ее по основанию : , теперь воспользуемся правилом 3 и 6
, откуда (1)
Задача 3. Найти производные функций а) , б)
Решение: а) воспользуемся формулой (1): Пусть , , найдем , и подставим в формулу (1):
б) сначала прологарифмируем . Дифференцируя левую и правую части равенства, получим:
|
|
, теперь найдем
= .
Метод, основанный на предварительном логарифмировании функции, не требует запоминания формулы и имеет более широкий спектр применения, в частности при дифференцировании большого количества сомножителей.
Задача 4. Найти производные функций:
а) , б) .
Решение: а) воспользуемся свойствами логарифмической функции:
, , , .
Итак, , ,
.
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Если зависимость функции и аргумента задана посредством параметра : , то , или . (2)
Пример 1. Найти , если , . Это параметрические уравнения окружности с центром в начале координат и радиуса .
Решение. Находим и .
Отсюда .
Пример 2. Найти от функции: , .
Решение: , ,теперь по формуле (2)
найдем .
Производная неявной функции
Пусть уравнение не разрешено относительно функции , т.е. функция задана неявно. Чтобы найти производную , надо продифференцировать левую и правую часть уравнения, учитывая, что есть функция аргумента . Рассмотрим это правило на примерах.
Пример 1. Найти , если а) , б) .
Решение: а) , выразив , получим . ;
б) дифференцируя обе части этого уравнения, получим уравнение относительно : , ;найдем теперь .
|
|
Геометрический смысл производной
Здесь – угол наклона касательной к графику функции и точке . Через две точки и кривой проведем секущую , ее угловой коэффициент . Двигая точку по кривой к точке , мы будем поворачивать секущую вокруг точки , в результате секущая стремится занять положение касательной, проведенной к графику в точке, а угол стремится к углу – наклона касательной, т.е. ,
где – угловой коэффициент касательной. Известное уравнение прямой используем как уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке , с угловым коэффициентом . Тогда уравнение касательной примет вид
(3)
Задача. Найти уравнение касательной к графику функции
а) в точке , б) , в точке .
Решение. а) Сначала вычислим ординату точки касания . Затем производную в точке ,
. Это угловой коэффициент касательной.
Подставим найденные параметры в уравнение (3)
– искомая касательная;
б) кривая задана параметрически; найдем координаты точки касания, подставив значение параметра в уравнение кривой: , . Для отыскания углового коэффициента воспользуемся формулой , , теперь запишем уравнение касательной , или .
|
|
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 172; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!