Возрастание, убывание функции. Точки экстремума
Определение 1 . Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке , если для любых этого промежутка ( ).
Функция возрастающая (убывающая) называется монотонной.
Теорема 1 . (Условие монотонности)
Если функция 1) определена на , 2) имеет конечную производную на , тогда, чтобы была возрастающей (убывающей) на , необходимо и достаточно, чтобы ( ).
Задача 1. Найти интервалы монотонности функции .
Решение. Область определения функции дифференцируема всюду в области определения: .
Решим неравенство , ,
-это интервал возрастания функции.
Соответственно неравенство справедливо для всех – область убывания функции.
Определение 2. Точка называется точкой локального максимума (минимума), если в некоторой ее окрестности выполняется неравенство ( ) для всех этой окрестности.
Теорема 2 . (Необходимое условие существования экстремума)
Если 1) определена в окрестности точки , 2) дифференцируема в точке и 3) имеет в ней локальный экстремум, то .
Точки, в которых производная называются критическими.
Замечание. Функция может иметь экстремум и в точках, где первая производная не существует. Например: Функция непрерывна в точке , но не дифференцируема т. к. односторонние пределы не равны, значит, не существует в точке , но функция имеет минимум.
Теорема 3 . (Достаточное условие экстремума)
Если функция : 1) непрерывна в точке , 2) дифференцируема в некоторой области , 3) либо не существует и 4) при переходе через точку производная меняет знак, то – точка экстремума, причем, если производная слева от отрицательна, а справа положительна, то – точка минимума; если слева от производная положительна (функция возрастает) а справа отрицательна (функция убывает), то – точка максимума.
|
|
Замечание: в промежутке между критическими точками производная сохраняет знак, следовательно, это промежутки монотонности.
Теорема 4 . (Исследование на экстремум с помощью второй производной или второе достаточное условие экстремума).
Если 1) в точке функция дифференцируема и ,
2) существует вторая производная, 3) в окрестности , то при функция имеет минимум, а при – максимум.
Итак, при исследовании функции на экстремум необходимо пользоваться правилами:
1. Найти первую производную
2. Найти критические точки , решив уравнения и .
3. Проверить, меняет ли знак первая производная при переходе через точку или установить знак второй производной , классифицировать экстремум.
4. Найти значение функции в экстремальных точках.
Задача. Исследовать на экстремум функцию .
Решение. Область определения ,
|
|
, при . Это значение не принадлежит области определения функции. Значит, – единственная критическая точка. Проверим знак первой производной слева и справа от нее.
При , , функция возрастает, при , функция убывает, значит – точка максимума, – максимальное значение функции.
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 143; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!