Задачі для самостійного розв’язання

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 28Следующая ⇒

Задача 9.1. Поршень двигуна внутрішнього згорання здійснює горизонтальні коливання відповідно до закону , де r – довжина кривошипа, l – довжина шатуна, – стала за величиною кутова швидкість вала. Визначити найбільше значення сили, що діє на поршень, якщо маса останнього М.

Відповідь: .

Задача 9.2. Тіло масою 2,04кг здійснює коливальний рух вздовж горизонтальної прямої згідно закону . Знайти залежність сили, що діє на тіло, від координати х, а також найбільшу величину цієї сили.

Відповідь: F= –5,033х Н, F_max=50,33 Н.

Задача 9.3. Рух матеріальної точки масою 0,2кг виражається рівняннями t cм, t cм (t в секундах). Визначити проекції сили, що діє на точку, в залежності від її координат.

Відповідь: F_х= –0,0789х Н, F_у= –0,0197у Н.

Задача 9.4. Вантаж масою 0,2кг підвішений до кінця нитки довжиною 1м; внаслідок поштовху вантаж дістав горизонтальну швидкість 5м/с. Знайти натяг нитки безпосередньо після поштовху.

Відповідь: 6,96Н.

Задача 9.5. У шахті опускається рівноприскорено ліфт масою 280кг. У перші 10с він проходить 35м. Знайти натяг канату, на якому висить ліфт.

Відповідь: 2548Н.

Задача 9.6. Камінь масою 0,3кг, прив'язаний до нитки завдовжки 1м, описує коло у вертикальній площині. Визначити найменшу кутову швидкість каменю, при якій відбудеться розривання нитки, якщо опір розриванню дорівнює 9Н.

Відповідь: .

Задача 9.7. У вагоні потяга, який йде спочатку по прямолінійному шляху, а потім по закругленому зі швидкістю 20м/с, відбувається зважування деякого вантажу на пружинних вагах; ваги в першому випадку показують 50Н, а на закругленні 51Н. Визначити радіус закруглення шляху.

Відповідь: 203м.

Задача 9.8. Автомобіль масою 1000кг рухається по випуклому мосту зі швидкістю . Радіус кривизни на середині моста . Визначити силу тиску автомобіля на міст у момент проходження його через середину моста.

Відповідь: 7800Н.

Задача 9.9. Маса кузова трамвайного вагона 10000кг. Маса платформи з колесами 1000кг. Визначити силу найбільшого і найменшого тиску вагона на рейки горизонтального прямолінійного відрізку шляху, якщо на ходу кузов на ресорах здійснює вертикальні гармонійні коливання за законом .

Відповідь: N_max=12,78·10⁴H, N_mіп=8,78·10⁴H.

Задача 9.10. Сито рудозбагачувального грохоту здійснює вертикальні гармонійні коливання з амплітудою а=5см. Знайти найменшу частоту k коливань сита, при якій грудки руди, що лежать на ньому, будуть відокремлюватися від нього і підкидатися вгору.

Відповідь: .

Практичне заняття №10

Тема: Розв’язання другої задачі динаміки матеріальної точки

Програмні питання

Сутність другої задачі динаміки матеріальної точки. Послідовність розв’язання другої задачі динаміки. Розв’язання другої задачі динаміки точки в її прямолінійному та криволінійному рухах.

Література

1. Курок В.П. Технічна механіка. Курс лекцій: навч. посіб. для студ. вищих навч. закл. – К.: Пед. преса, 2007. – 272с., л.27.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1986. – 416с., §§79–82.

3. Никитин Е.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Наука, 1983. – 400с., §72.

4. Цасюк В.В. Теоретична механіка: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2004. – 402с., §§15.3 – 15.4.

5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука, 1986.–448с.

Короткі теоретичні відомості

Друга задача (обернена, основна) полягає в знаходженні закону руху точки, якщо відомі її маса і сили, що діють на неї.

Розв’язання цієї задачі зводиться до інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки при заданих початкових умовах і виконується в такій послідовності:

1) складання диференціальних рівнянь руху точки, виходячи із умови задачі;

2) знаходження загальних розв’язків складених рівнянь;

3) визначення значень сталих інтегрування за заданими початковими умовами руху точки;

4) отримання кінематичних рівнянь, які виражають закон руху точки, шляхом підставлення сталих інтегрування в загальні розв’язки.

У попередньому практичному занятті показано, як на основі другого закону динаміки складаються диференціальні рівняння руху точки. При цьому в залежності від способу задання руху точки рівняння можуть бути складені в трьох формах – векторній, координатній і натуральній.

При складанні диференціальних рівнянь руху матеріальної точки в координатній формі слід обрати систему координат Oxyz (початок її, як правило, суміщають з початковим положенням точки), зобразити на рисунку точку в довільному положенні так, щоб її координати і проекції швидкості були додатними Далі необхідно зобразити силу (сили), які діють на точку в даний момент часу. Після цього скласти диференціальні рівняння руху точки в проекціях на осі обраної системи координат. При цьому змінні сили повинні бути подані в рівняннях в явному вигляді як функції відповідних аргументів.

Нагадаємо, що диференціальні рівняння руху точки, на яку діє сила, що залежить від часу, положення точки і її швидкості, мають вигляд:

де

Отже, отримання кінематичних рівнянь x=x(t), y=y(t), z=z(t), які виражають закон руху точки, зводиться до інтегрування цих диференціальних рівнянь. Щоб задача динаміки була визначеною, необхідно крім сили, що діє на точку, задати початкові умови руху точки. Це значить для деякого моменту часу t=t₀ задати значення функцій і їх похідних. Початкові умови записуються у вигляді:

Відзначимо, що початкові умови руху матеріальної точки містяться в самій постановці задачі динаміки і мають певний механічний зміст. Введенням початкової швидкості враховується вплив всіх раніше діючих на точку сил та подальший її рух.

Приклади розв’язання задач

Задача 1.Тіло масою m=3кг починає рух із стану спокою вздовж гладенької горизонтальної площини під дією сили , значення якої збільшується за законом F=2t. Знайти закон руху тіла і шлях, який пройде це тіло за 3с?

Розв’язання

Оберемо початок відліку в точці О і напрямимо вісь Оx у бік руху тіла (рис.37). Зобразимо на рисунку всі сили, які діють на тіло: , , . Складемо диференціальне рівняння руху тіла в проекції на вісь х:

або .

Домножимо ліву і праву частину рівності на dt:

Проінтегруємо це рівняння:

;

. (1)

Сталу С₁ визначимо з початкових умов: при t=0, x=0, v_x=0.

Підставляючи у рівняння (1) початкові умови, знайдемо, що С₁=0.

Виразимо в рівнянні (1) v_x через :

Помноживши ліву і праву частини рівності на dt і проінтегрувавши, маємо:

mdx=t²dt або

Підстановка початкових умов дає С₂=0.

Тоді закон руху тіла: .

Оскільки тіло рухається по горизонтальній площині, то шлях s у момент часу t=3c визначиться:

Задача 2.Автомобіль піднімається по шорсткій похилій площині, яка утворює кут α=30⁰ з горизонтом. У початковий момент швидкість автомобіля дорівнювала v₀=20м/с, коефіцієнт тертя f=0,2. Який шлях пройде автомобіль до зупинки? За який час автомобіль пройде цей шлях?

Розв’язання

Напрямимо вісь x вздовж похилої площини вгору (рис. 38). Візьмемо за початок відліку на осі x початкове положення автомобіля. Початкова швидкість напрямлена вздовж осі x вгору. Тоді початкові умови руху мають вигляд: при t=0: x=0, х^/=v₀.

Зобразимо на рисунку всі сили, які діють на автомобіль , , _.

Запишемо диференціальне рівняння руху автомобіля в проекціяї на вісь x:

. (1)

Знаючи, що F_тр=fN,а , рівняння (1) перепишемо у вигляді:

(2)

або

Домножимо ліву і праву частини рівності на dt і проінтегруємо:

. (3)

Використовуючи початкові умови (при t=0 v=v₀), знаходимо сталу С₁: .

Тоді рівняння (3) запишемо у вигляді:

. (4)

Із диференціального рівняння (4) визначаємо закон руху автомобіля. Помноживши на dt і проінтегрувавши рівність, маємо:

Сталу інтегрування С₂ знаходимо із початкових умов: при t=0: x=0, тому C₂=0.

Рівняння руху автомобіля буде мати вигляд:

(5)

Із рівняння (4) знайдемо час до повної зупинки автомобіля. Оскільки тоді:

Шлях, який пройде автомобіль до зупинки, знаходимо із формули (5):

= .

Задача 3.Стрілок стріляє в ціль, що знаходиться від нього по горизонталі на відстані 60м, і при цьому тримає рушницю так, що ціль знаходиться на продовженні лінії дула. На скільки нижче від цілі влучить куля, якщо її швидкість дорівнює 600м/с? Опором повітря знехтувати.

Розв’язання

Оскільки опором повітря нехтуємо, то на кулю діє тільки сила ваги (рис.39).