Решение для цилиндра круглого поперечного сечения.
Уравнение контура С записывается в виде
Поэтому мы получаем частный вид уравнения (134)
, | (138) |
Из (138) следует решение . В случае, если какая-то точка цилиндра закреплена, то из условия следует равенство нулю функции кручения.
Следовательно
(139) | |
(140) | |
(141) |
Откуда максимальное касательное напряжение достигается на внешнем радиусе
(142) |
Метод Сен-Венана
Рассмотрим условия на границе цилиндра (132). Есть способ заменить производную по нормали от функции кручения на производную по контуру как в правой части от сопряженной функции.
Функция кручения гармоническая функция. Рассмотрим гармоническую функцию сопряженную по условиям Коши-Римана
(143) |
Из этих равенств с учетом (133) производная функции кручения меняется:
(144) |
Откуда получаем уже задачу не Неймана, а Дирихле для сопряженной функции
(145) |
Определим теперь аналитическую функцию
(146) |
Если уравнение выражает некую замкнутую кривую, то ее можно принять за контур поперечного сечения, при этом будет определять депланацию – смещение точек поперечного сечения вдоль ортогональной ему оси.
Решение для цилиндра эллиптического сечения.
Рассмотрим функцию
(147) |
Положим
(148) |
Тогда уравнение
(149) |
Определит уравнение эллипса с осями
(150) |
Откуда следует, что функция
(151) |
дает решение задачи о кручении цилиндрического стержня с поперечным сечением, ограниченным эллипсом .
|
|
Мембранная аналогия
Лекция 9. Изгиб балки.
Принцип Сен-Венана.
Лекция 10. Плоские задачи теории упругости.
Плоское деформированное состояние.
Где реализуется плоское деформированное состояние.
Цилиндрическое тело.
Плоское напряженное состояние.
Где реализуется плоское напряженное состояние.
Тонкая пластина.
Лекция 11. Формулы Гурса и Колосова-Мусхелишвили.
Введем обозначение
(152) |
Ясно, что функция гармоническая, так как
(153) |
Тогда
(154) |
Аналитическая функция комплексного переменного.
Положим
(155) |
Тогда
Формула Гурса | (156) |
Покажем, что для бигармонической функции выражение является гармонической функцией. Учитывая условия Коши-Римана для и , получаем
(157) |
То есть
(158) |
или
(159) |
Откуда следует Формула Гурса
(160) |
Выражений напряжений через функцию Эри мы получаем следующие равенства
(161) |
Комбинируя эти уравнения получаем
Формулы Колосова-Мусхелишвили для напряжений
(162) |
Это уравнения в напряжениях. Из закона Гука мы получаем уравнения в перемещениях.
|
|
(163) |
Интегрируя, получаем
(164) |
Учитывая (164) в соотношениях закона Гука для , получаем
(165) |
Откуда следует, что
(166) |
Для любых и , а значит , откуда
(167) |
Что определяет лишь жесткое смещение и вращение тела в пространстве. Далее мы полагаем эти слагаемые равными нулю.
Получаемформулы Лява
(168) |
Удобно представить плоское поле перемещений в виде
(169) |
Откуда, учитывая формулы Гурса (160), получаем
(170) |
В итоге у нас получилась
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 325; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!